القواعد الأساسية لحساب التفاضل :
نظراً لأن عملية حساب المشتقة الأولى للدالة باستخدام المبادئ الأولية عملية مطولة وشاقة فإنه يوجد بعض القواعد التى تستخدم فى إيجاد هذه المشتقة بطريقة أسهل وأسرع وذلك دون استخدام النهايات. وسوف نفترض أن الدوال التى سوف نتعامل معها قابلة للاشتقاق.
قاعدة [1] : مشتقة المقدار الثابت :
إذا كان د (س) = أ ، حيث أ مقدار ثابت
فإن د' (س) = صفر
مثال (2) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
د (س) = 9
الحل :
باستخدام قاعدة [1] نجد أن :
د' (س) = صفر
قاعدة [2] : مشتقة الدالة سن : Power Function
إذا كان د (س) = سن ، حيث ن عدد حقيقى
فإن د' (س) = ن سن-1
مثال (3) :
أوجد المشتقة الأولى الدوال الآتية :
( i ) ص = س3 + 5 (ii) ص =
(iii) ص = س (iv) ص = س-7
الحل :
( i ) ص = س3 + 5
ص' = 3 س3-1 = 3 س2
لاحظ أن تفاضل القيمة 5 = صفر لأنها مقدار ثابت.
(ii) ص =
ص' =
(iii) ص = س
ص' = س1-1 = سصفر = 1
(iv) ص = س-7
ص' = -7 س-7-1 = -7 س-8
قاعدة [3] : المشتقة الأولى لمقدار ثابت مضروباً فى دالة يساوى هذا المقدار الثابت مضروباً فى مشتقة هذه الدالة.
مثال (4) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = 5 س3
الحل :
ص' = 5 × 3 س3-1
= 15 س2
قاعدة [4] : المشتقة الأولى للمجموع الجبرى لدالتين تساوى المجموع الجبرى لمشتقة كل منها.
مثال (5) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = 7 س3 + 5 س2
الحل :
ص' = 7 × 3 س2 + 5 × 2 س
= 21 س2 + 10 س
قاعدة [5] : المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين :
المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة الأولى
مثال (6) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية :
ص = (3 س2 - 1) (2 س3 + 3)
الحل :
نلاحظ أن هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين هما :
الدالة الأولى = (3 س2 - 1)
الدالة الثانية = (2 س3 + 3)
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية
× تفاضل الدالة الأولى
= (3 س2 - 1) × 6 س2 + (2 س3 + 3) × 6 س
= 18 س4 - 6 س2 + 12 س4 + 18 س
= 30 س4 - 6 س2 + 18 س
مثال (7) :
أحسب المشتقة الأولى للدالة :
ص = (س - 1) (3 س - 2) (2 س - 3)
الحل :
هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب ثلاث دوال وبتطبيق قاعدة حاصل ضرب الدالتين فإن :
الدالة الأولى = (س - 1)
الدالة الثانية = (3 س - 2) (2 س - 3)
وهى بدورها تعتبر حاصل ضرب دالتين
ص' = (س - 1) [(3 س - 2) × 2 + (2 س - 3) × 3]
+ (3 س - 2) (2 س - 3) × 1
= (س - 1) [6 س - 4 + 6 س - 9] + (3 س - 2) (2 س - 3)
= (س - 1) (12 س - 13) + (3 س - 2) (2 س - 3)
= 12 س2 - 25 س + 13 + 6 س2 - 13 س + 6
= 18 س2 - 38 س + 19
قاعدة [6] : تفاضل خارج قسمة دالتين :
تفاضل خارج قسمة دالتين = (المقام × تفاضل البسط - البسط
× تفاضل المقام) ÷ مربع المقام
مثال (8) :
أوجد تفاضل الدالة الآتية :
ص =
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' = (المقام × تفاضل البسط - البسط × تفاضل المقام) ÷ (مربع المقام)
= [(س2 + 1) (6 س + 1) - (3 س2 + س - 2) (2 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - (6 س3 + 2 س2 - 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - 6 س3 - 2 س2 + 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [- س2 + 10 س + 1] / (س2 + 1)2
قاعدة [7] : تفاضل دالة الدالة : The Chain Rule
إذا كان لدينا الدالة : ص = د (ع)
والدالة : ع = د (س)
فإن :
ويمكن تطبيق هذه القاعدة إذا كان لدينا دالتين أو أكثر فإذا كان :
ص = د ( ع )
ع = د ( م )
م = د (س)
فإن :
مثال (9) :
إذا كان : ص = 3 ع2 + 1
ع = 5 س - 1
أوجد :
الحل :
ص = 3 ع2 + 1 = 6 ع
ع = 5 س - 1 = 5
= ×
= 6 ع × 5
= 6 (5 س - 1) × 5
= 150 س - 30
مثال (10) :
إذا كان : ص = 2 ع2 + 1
ع = 3 م2
م = س2 + 2 س
أوجد :
الحل :
ص = 2 ع2 + 1 = 4 ع
ع = 3 م2 = 6 م
م = س2 + 2 س = 2 س + 2
= × ×
= 4 ع × 6 م (2 س + 2)
= 4 (3 م2) × 6 م (2 س + 2)
= 4 × 3 (س2 + 2 س)2 × 6 (س2 + 2 س)
× (2 س + 2)
= 72 (س2 + 2 س)2 (س2 + 2 س) (2 س + 2)
= 72 (س2 + 2 س)4
مثال (11) :
إذا كان : ص = (س2 + 3)10
أوجد :
الحل :
نفرض أن : ع = س2 + 3
أى أن : ص = ع10
وحيث أن : = ×
= 10 ع9 × 2 س
= 10 (س2 + 3)9 × 2 س
= 20 س (س2 + 3)9
وبصفة عامة إذا كان لدينا الدالة :
ص = [ د (س) ]ن
فإن :
= ن [ع (س)]ن-1 ×
مثال (12) :
إذا كان : ص = (7 س3 + 2 س2 + 3)15
أوجد :
الحل :
ص = (7 س3 + 2 س2 + 3)15
= 15 (7 س3 + 2 س2 + 3)14 (21 س2 + 4 س)
قاعدة [8] : تفاضل مقلوب الدالة : Inverse Function
إذا كان لدينا الدالة
ص = د (س)
فإن : = 1 ÷
مثال (13) :
إذا كان : ص = 4 س3 + 1
أوجد :
الحل :
ص = 4 س3 + 1
= 12 س2
=
قاعدة [9] : تفاضل الدالة الضمنية : Implicit Function
الدالة : ص = 3 س2 + 5 س - 1 دالة صريحة (Explicit function) حيث تحدد قيمة (ص) مباشرة متى علم قيمة (س). فإذا أخذت الدالة الصورة
ص - 3 س2 - 5 س + 1 = صفر
فإنها تعتبر علاقة دالية ضمنية بين س ، ص . ولإيجاد تفاضل الدالة الضمنية يتم تفاضل كل حد على حدة بالنسبة للمتغير س كما سبق. غير أنه بالنسبة للحد الذى يحتوى على (ص) يراعى ما يلى :
للدالة الضمنية ص - 3 س2 - 5 س + 1 = صفر يتم حسابها كالآتى :
- 6 س - 5 = صفر
= 6 س + 5
مثال (14) :
أوجد : للدالة :
ص2 + ص س2 + س + 7 = صفر
الحل :
2ص + [ص × 2 س + س2 × ] +1= صفر
2 ص + [2 س ص + س2 ] + 1 = صفر
2 ص + 2 س ص + س2 + 1 = صفر
بتجميع الحدود التى تحتوى على فى الطرف الأيمن وباقى الحدود فى الطرف الأيسر ينتج أن :
2 ص + س2 ] = -2 س ص - 1
(2 ص + س2) = -2 س ص - 1
= (-2 س ص - 1) / (2 ص + س2)
قاعدة [10] : تفاضل الدالة الأسية : Exponential function
إذا كان لدينا الدالة الأسية ص = هـد(س) فإن :
ص' = هـد(س) × د' (س)
حيث هـ الأساس الطبيعى للدوال الأسية واللوغاريتمية، هـ = 2.718 وهذا معناه :
أن تفاضل الدالة الأسية يساوى نفس الدالة الأسية مضروبة فى تفاضل الأس.
مثال (15) :
أوجد مشتقة الدالة : ص = هـ-3س
الحل :
ص' = هـ-3س (-3)
= - 3 هـ-3س
مثال (16) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة : ص = س2 هـ3س
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين :
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة
الأولى
ص' = س2 × هـ3س × 3 + هـ3س × 2 س
= 3 س2 هـ3س + 2 س هـ3س
= س هـ3س (3 س + 2)
= س (3 س + 2) هـ3س
مثال (17) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة : ص = س3 ÷ هـس
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' =
=
=
=
قاعدة [11] : تفاضل الدالة اللوغاريتمية : Logarithmic function
إذا كان لدينا الدالة اللوغاريتمية :
ص = لوهـ [ ع (س) ]
فإن : ص' = 1 ÷ [ ع (س) ] × ع' (س)
وللتبسيط سوف نستخدم الرمز لو بدون الأساس الطبيعى هـ
مثال (18) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = لو (س2 + 1)
الحل :
ص' =
مثال (19) :
أوجد تفاضل الدالة اللوغاريتمية الآتية :
ص = لو ( لو س2)
الحل :
ص' = × 2 س
=
مثال (20) :
أوجد تفاضل الدالة :
ص = لو (2 س + 1)5
الحل :
ص' = × 2
ص' =
مثال (21) :
أوجد المعامل التفاضلى الأول للدالة :
ص = هـس لو س
الحل :
باستخدام قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين نجد أن :
ص' = هـس × + لو س × هـس
ص' = هـس + هـس لو س
مثال (22) :
أوجد المعامل التفاضلى الأول للدالة :
ص =
الحل :
باستخدام قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' =
=
=
نظراً لأن عملية حساب المشتقة الأولى للدالة باستخدام المبادئ الأولية عملية مطولة وشاقة فإنه يوجد بعض القواعد التى تستخدم فى إيجاد هذه المشتقة بطريقة أسهل وأسرع وذلك دون استخدام النهايات. وسوف نفترض أن الدوال التى سوف نتعامل معها قابلة للاشتقاق.
قاعدة [1] : مشتقة المقدار الثابت :
إذا كان د (س) = أ ، حيث أ مقدار ثابت
فإن د' (س) = صفر
مثال (2) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
د (س) = 9
الحل :
باستخدام قاعدة [1] نجد أن :
د' (س) = صفر
قاعدة [2] : مشتقة الدالة سن : Power Function
إذا كان د (س) = سن ، حيث ن عدد حقيقى
فإن د' (س) = ن سن-1
مثال (3) :
أوجد المشتقة الأولى الدوال الآتية :
( i ) ص = س3 + 5 (ii) ص =
(iii) ص = س (iv) ص = س-7
الحل :
( i ) ص = س3 + 5
ص' = 3 س3-1 = 3 س2
لاحظ أن تفاضل القيمة 5 = صفر لأنها مقدار ثابت.
(ii) ص =
ص' =
(iii) ص = س
ص' = س1-1 = سصفر = 1
(iv) ص = س-7
ص' = -7 س-7-1 = -7 س-8
قاعدة [3] : المشتقة الأولى لمقدار ثابت مضروباً فى دالة يساوى هذا المقدار الثابت مضروباً فى مشتقة هذه الدالة.
مثال (4) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = 5 س3
الحل :
ص' = 5 × 3 س3-1
= 15 س2
قاعدة [4] : المشتقة الأولى للمجموع الجبرى لدالتين تساوى المجموع الجبرى لمشتقة كل منها.
مثال (5) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = 7 س3 + 5 س2
الحل :
ص' = 7 × 3 س2 + 5 × 2 س
= 21 س2 + 10 س
قاعدة [5] : المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين :
المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة الأولى
مثال (6) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية :
ص = (3 س2 - 1) (2 س3 + 3)
الحل :
نلاحظ أن هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين هما :
الدالة الأولى = (3 س2 - 1)
الدالة الثانية = (2 س3 + 3)
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية
× تفاضل الدالة الأولى
= (3 س2 - 1) × 6 س2 + (2 س3 + 3) × 6 س
= 18 س4 - 6 س2 + 12 س4 + 18 س
= 30 س4 - 6 س2 + 18 س
مثال (7) :
أحسب المشتقة الأولى للدالة :
ص = (س - 1) (3 س - 2) (2 س - 3)
الحل :
هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب ثلاث دوال وبتطبيق قاعدة حاصل ضرب الدالتين فإن :
الدالة الأولى = (س - 1)
الدالة الثانية = (3 س - 2) (2 س - 3)
وهى بدورها تعتبر حاصل ضرب دالتين
ص' = (س - 1) [(3 س - 2) × 2 + (2 س - 3) × 3]
+ (3 س - 2) (2 س - 3) × 1
= (س - 1) [6 س - 4 + 6 س - 9] + (3 س - 2) (2 س - 3)
= (س - 1) (12 س - 13) + (3 س - 2) (2 س - 3)
= 12 س2 - 25 س + 13 + 6 س2 - 13 س + 6
= 18 س2 - 38 س + 19
قاعدة [6] : تفاضل خارج قسمة دالتين :
تفاضل خارج قسمة دالتين = (المقام × تفاضل البسط - البسط
× تفاضل المقام) ÷ مربع المقام
مثال (8) :
أوجد تفاضل الدالة الآتية :
ص =
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' = (المقام × تفاضل البسط - البسط × تفاضل المقام) ÷ (مربع المقام)
= [(س2 + 1) (6 س + 1) - (3 س2 + س - 2) (2 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - (6 س3 + 2 س2 - 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - 6 س3 - 2 س2 + 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [- س2 + 10 س + 1] / (س2 + 1)2
قاعدة [7] : تفاضل دالة الدالة : The Chain Rule
إذا كان لدينا الدالة : ص = د (ع)
والدالة : ع = د (س)
فإن :
ويمكن تطبيق هذه القاعدة إذا كان لدينا دالتين أو أكثر فإذا كان :
ص = د ( ع )
ع = د ( م )
م = د (س)
فإن :
مثال (9) :
إذا كان : ص = 3 ع2 + 1
ع = 5 س - 1
أوجد :
الحل :
ص = 3 ع2 + 1 = 6 ع
ع = 5 س - 1 = 5
= ×
= 6 ع × 5
= 6 (5 س - 1) × 5
= 150 س - 30
مثال (10) :
إذا كان : ص = 2 ع2 + 1
ع = 3 م2
م = س2 + 2 س
أوجد :
الحل :
ص = 2 ع2 + 1 = 4 ع
ع = 3 م2 = 6 م
م = س2 + 2 س = 2 س + 2
= × ×
= 4 ع × 6 م (2 س + 2)
= 4 (3 م2) × 6 م (2 س + 2)
= 4 × 3 (س2 + 2 س)2 × 6 (س2 + 2 س)
× (2 س + 2)
= 72 (س2 + 2 س)2 (س2 + 2 س) (2 س + 2)
= 72 (س2 + 2 س)4
مثال (11) :
إذا كان : ص = (س2 + 3)10
أوجد :
الحل :
نفرض أن : ع = س2 + 3
أى أن : ص = ع10
وحيث أن : = ×
= 10 ع9 × 2 س
= 10 (س2 + 3)9 × 2 س
= 20 س (س2 + 3)9
وبصفة عامة إذا كان لدينا الدالة :
ص = [ د (س) ]ن
فإن :
= ن [ع (س)]ن-1 ×
مثال (12) :
إذا كان : ص = (7 س3 + 2 س2 + 3)15
أوجد :
الحل :
ص = (7 س3 + 2 س2 + 3)15
= 15 (7 س3 + 2 س2 + 3)14 (21 س2 + 4 س)
قاعدة [8] : تفاضل مقلوب الدالة : Inverse Function
إذا كان لدينا الدالة
ص = د (س)
فإن : = 1 ÷
مثال (13) :
إذا كان : ص = 4 س3 + 1
أوجد :
الحل :
ص = 4 س3 + 1
= 12 س2
=
قاعدة [9] : تفاضل الدالة الضمنية : Implicit Function
الدالة : ص = 3 س2 + 5 س - 1 دالة صريحة (Explicit function) حيث تحدد قيمة (ص) مباشرة متى علم قيمة (س). فإذا أخذت الدالة الصورة
ص - 3 س2 - 5 س + 1 = صفر
فإنها تعتبر علاقة دالية ضمنية بين س ، ص . ولإيجاد تفاضل الدالة الضمنية يتم تفاضل كل حد على حدة بالنسبة للمتغير س كما سبق. غير أنه بالنسبة للحد الذى يحتوى على (ص) يراعى ما يلى :
للدالة الضمنية ص - 3 س2 - 5 س + 1 = صفر يتم حسابها كالآتى :
- 6 س - 5 = صفر
= 6 س + 5
مثال (14) :
أوجد : للدالة :
ص2 + ص س2 + س + 7 = صفر
الحل :
2ص + [ص × 2 س + س2 × ] +1= صفر
2 ص + [2 س ص + س2 ] + 1 = صفر
2 ص + 2 س ص + س2 + 1 = صفر
بتجميع الحدود التى تحتوى على فى الطرف الأيمن وباقى الحدود فى الطرف الأيسر ينتج أن :
2 ص + س2 ] = -2 س ص - 1
(2 ص + س2) = -2 س ص - 1
= (-2 س ص - 1) / (2 ص + س2)
قاعدة [10] : تفاضل الدالة الأسية : Exponential function
إذا كان لدينا الدالة الأسية ص = هـد(س) فإن :
ص' = هـد(س) × د' (س)
حيث هـ الأساس الطبيعى للدوال الأسية واللوغاريتمية، هـ = 2.718 وهذا معناه :
أن تفاضل الدالة الأسية يساوى نفس الدالة الأسية مضروبة فى تفاضل الأس.
مثال (15) :
أوجد مشتقة الدالة : ص = هـ-3س
الحل :
ص' = هـ-3س (-3)
= - 3 هـ-3س
مثال (16) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة : ص = س2 هـ3س
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين :
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة
الأولى
ص' = س2 × هـ3س × 3 + هـ3س × 2 س
= 3 س2 هـ3س + 2 س هـ3س
= س هـ3س (3 س + 2)
= س (3 س + 2) هـ3س
مثال (17) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة : ص = س3 ÷ هـس
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' =
=
=
=
قاعدة [11] : تفاضل الدالة اللوغاريتمية : Logarithmic function
إذا كان لدينا الدالة اللوغاريتمية :
ص = لوهـ [ ع (س) ]
فإن : ص' = 1 ÷ [ ع (س) ] × ع' (س)
وللتبسيط سوف نستخدم الرمز لو بدون الأساس الطبيعى هـ
مثال (18) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة :
ص = لو (س2 + 1)
الحل :
ص' =
مثال (19) :
أوجد تفاضل الدالة اللوغاريتمية الآتية :
ص = لو ( لو س2)
الحل :
ص' = × 2 س
=
مثال (20) :
أوجد تفاضل الدالة :
ص = لو (2 س + 1)5
الحل :
ص' = × 2
ص' =
مثال (21) :
أوجد المعامل التفاضلى الأول للدالة :
ص = هـس لو س
الحل :
باستخدام قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين نجد أن :
ص' = هـس × + لو س × هـس
ص' = هـس + هـس لو س
مثال (22) :
أوجد المعامل التفاضلى الأول للدالة :
ص =
الحل :
باستخدام قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' =
=
=
محمد جلال سلامه2016-12-20, 10:49 pm