النهايات

النهاية كما يسميها البعض والمقصود بها نهاية دالة عند نقطة أو في فترة، وغالباً نقول عند الاقتراب من نقطة للوصول للنقطة نفسها، ولنقل مثل بسيط كسكب الماء في إناء فكلما ازداد ارتفاع الماء في الإناء كلما اقترب حجم الفراغ للصفر، والبعض يقول من باب التسلية كلما ازداد عمر الإنسان كلما اقترب من حافة القبر أو الموت فأن جاء آجله مات والعديد من الأمثلة التي تبين لنا مفهوم اقتراب متغير(س) من عدد(أ) مثلاً وقد يختلف اثنان عن معنى الاقترب فلو كانت س تقترب من العدد 2 فالأول يقول 2.0001، 2.00001، 20.000001،... والآخر يقول 1.99، 1.999، 1.999، ...فكلاهما يقترب من 2 فالأول أكبر من 2 أو عن يمين 2 في حين الثاني أقل من 2 أي عن يسار 2 والاختلاف هذا يؤكد لنا أن الاقتراب موجود من اليمين واليسار وقد يسأل سائل ما هو الاختلاف بينهما طالما يريدان الوصول للعدد 2 نقول قد يكون يمين 2 هو الصورة س + 2 وفي يسار 2 هو الصورة س2 كدوال فيرد بالقول عند 2 يكون كل منهما ناتجه 4 نقول رغم الاختلاف في اليمين واليسار إلا أنهما متفقان في الناتج ولكن لو تكلمنا عن 3 فيكون الأول ناتجه 5 في حين الثاني ناتجه 9 وهنا نقول شئ آخر نوضحه لاحقاً، ولا يمكن ظهور لفظ اليمين واليسار عند عدد إلا في حالة اختلاف ما قبله عما يليه
وغاية دالة مثل د(س) عندما تقترب س من أ هو ل نكتبها بالصورة
نهـــــــــــــــــــــــا د( س ) = ل
س...............أ

والمشكلة هنا تكمن في د(س) وهي أما تكون
1) كثيرة حدود بأي درجة والمقصود بكثيرة الحدود بعدم وجود كسر أو أس سالب أو جذر سالب وهي على الصورة أ س^ن +ب س^ن-1 + 00000+ ك
2) دالة نسبية(كسر مقامه على الأقل يشتمل على المتغير س مثلاً بصرف النظر عن كون مقامه يساوي الصفر أم لا) 5 / س^2 - 1 أو ( س - 5 ) / ( س^2 + 1 )

3) دالة نسبية جذرية (تشتمل على حداً جذرياً سواء في البسط أو المقام أو كلاهما مثل)
3 / ( جذر س - جذر 2 )
4) دالة معرفة بقاعدتين وهي أما أن تكون مباشرة أو غير مباشرة وهي دالة المقياس(القيمة المطلقة) والتي يجب إعادة تعريفها لتأخذ الصورة المباشرة السابق ذكرها مثل |س ـ 3| والمقصود بإعادة التعريف حذف المقياس وذلك بالبحث عن قيمة س التي تجعل قيمته تساوي صفر ففي |س ـ 3| ، س ـ 3 = صفر أي س = 3 ويكون لدينا الصورة الآتية على خط الاعداد والتي يمكن من خلالها كتابة الدالة د(س) = |س ـ 3| من جديد بدون مقياس
وهي مطابقة تماماً لبحث إشارة الدالة د(س) = أ س + ب التي تتغير عند صفر الدالة س = ـ ب/أ وعليه تكون الدالة د(س) = |س ـ 3| بعد إعادة تعريفها
وبالطبع سيكون الأمر أكثر صعوبة إذا كانت دالة المقياس من الدرجة الثانية حيث تخضع في إعادة تعريفها لبحث إشارة الدالة
والتي يعاد تعريفها في فترات ثلاث احداها بين صفري الدالة بإشارة مخالفة لإشارة معامل س2 وفي الفترتان نفس إشارة معامل س2 وسيتنم شرح ذلك بالتفصيل ضمن مثال عند بحث هذه النوع من مسائل الغايات



الدوال النسبية(لا تحوي جذور)

نهاية الدالة النسبية الأكثر انتشاراً وخاصة التي يكون فيها التعويض المباشر صفر ÷ صفر وتعتمد في إيجاد النهاية على التحليل والحذف والتعويض في صورته العامة والتحليل يأخذ صورة أبسط عنه في المرحلة الإعدادية ويعود السبب لمعرفة أعد العوامل أو نماء العقل عنه في المرحلة الإعدادية ولنبدأ على بركة الله

عندما نقول أن س تؤول أو تقترب من عدد ما وليكن 3 مثلاً ، فان كان التعويض يعطي صفر ÷ صفر فهذا يعني وجود العامل س ـ 3 في كل من البسط والمقام وهذا يبسط عملية التحليل أو يعطي لمن لا يعرف التحليل إجراء القسمة المطولة لكل من البسط والمقام على س ـ 3 ومن لا يجيد الاثنين عليه وضع س = 3 + و فإن و تؤول للصفر عند س = 3 ونعوض عن س بـ 3 + و أي أن لدينا 3 طرق لإيجاد نهاية دالة نسبية تعويضها المباشر صفر ÷ صفر وبالطبع هناك حل رابع غير مقبول ولكنه يصلح لتحقيق الجواب وهو إجراء المشتقة لكل من البسط والمقام ويلخص ذلك في:

1) التحليل

2) القسمة المطولة

3) وضع س = أ + و حيث أ ما تؤول إليه س

4) الاشتقاق (يراجع وهو ليس بحل فيما أعرف)

مثال (1) أوجد:

0000000000 س2 + 5 س − 6
نهـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 1 00000س2 − 1

الحـــل:

بالتعويض المباشر

البسط 1 + 5 − 6 = صفر كما ذكرنا من قبل س − 1 عامل من عوامل البسط

المقام = 1 – 1 = صفر كذلك س − 1 عامل من عوامل المقام

البسط = (س − 1) ( ... + ....) من السهل معرفة حدي القوس الثاني وهما س ، 6

البسط = (س − 1) ( س + 6) أو بتحليل المقدار الثلاثي ، العددان − 1، + 6 حيث حاصل ضربهم − 6 وحاصل جمعهم + 5

المقام = (س – 1) (س + 1) كفرق بين مربعين أو بالأسلوب السابق ذكره مع البسط

أصبح الآن واضح من أين جاء الناتج صفر ÷ صفر بالطبع من وجود س – 1 في كل من البسط والمقام وهذه جاءت من س تؤول إلى 1

ومن الممكن تسمية الكسر بـ د(س) وعلى ذلك نقول:

000000000000 س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
0000000000000 س2 − 1

0000000000 (س − 1) ( س + 6)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالاختصار نحصل على:
000000000 (س − 1) ( س + 1)



0000000000 س + 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــ
000000000 س + 1

0000000000000000 1 + 6 00 7
نهـــــــــــــــــا د(س) = ـــــــــــــــ = ـــــ
س ← 1 00000 1 + 1 000 2

--------------------------------------------------------------------------------

00000000000 س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
0000000000 س2 − 1

الآن لنضع س = 1 + و

حيث عندما س ← 1 فإن و ← 0

البسط = (1 + و)2+ 5(1 + و) − 6( 1+ و) = 1 + 2و + و2 + 5 + 5و − 6و − 6 = و2 + 7و = و( و + 7)

المقام = (1 + و)2 − 1 = 1 + 2و + و2 − 1 = و2+ 2و = و( و + 2)

وعلى ذلك يكون:

00000000000000000000000000 و( و + 7)000 و + 7 700000
نهـــــــــــــــــا د(س) = نهـــــــــــــــــا د(س) = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــ
00 س ← 1 0000000 و ← 0 000000و( و + 2) 00و + 2 0000 2

و ← 0 وليس و = 0 لذا أمكن حذف و


--------------------------------------------------------------------------------

00000000000 س2 + 5 س − 6
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
0000000000000 س2 − 1

لمن يعرف المشتقة فإن:

مشتقة البسط = 2 س + 5

مشتقة المقام = 2 س

000000000 س2 + 5 س − 6 20000000000 س + 5 20000+ 5 000 7
نهـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــ
00 س ← 1 0000س2 − 1 0000 س ←1 20000000س 0000 2 0000 2

بالتعويض المباشر الآن نحصل على 7 للبسط ، 2 للمقام فنحصل على الناتج 7 ÷ 2 وهذا يؤكد صحة الحل السابق


--------------------------------------------------------------------------------

كما ذكرنا يمكن استخدام القسمة المطولة لكل من البسط والمقام على س − 1


--------------------------------------------------------------------------------

مثال (2) أوجد:

000000000 5^س − 25
نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــ
س ← 2 00 3^س − 9

الحــل:

000000 5^س − 25 00000000 5^س لـو5 − 0
نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــ = نهـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ باشتقاق البسط والمقام - قاعدة أوبيتال -
س ← 2 00 3^س − 9 00 س ← 2 000 3^س لـو3 − 0

000000000000000000000 25لـو5
= ـــــــــــــــــــ بالتعويض عن س = 2
00000000000000000000 9لـو3


--------------------------------------------------------------------------------

تمرين

0000000000 س2 − 5 س + 6
نهـــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 2 000000 س2 − 4

--------------------------------------------------------------------------------
تمارين و ملحقات

التمارين لا تأخذ أي صفة ترتيبية كالسهل للأصعب

(1) أوجد نهاية [(س3 ـ س2) ÷ (س2 ـ س)] عندما س تؤول للصفر

(2) أوجد نهاية [(س2 ـ 4) ÷ (س ـ 2)] عندما س تؤول إلى 2

(3) أوجد نهاية [(س2 + س ـ 2) ÷ (س2 + 5س + 6)] عندما تؤول س تؤول س إلى ـ2

(4) أوجد نهاية [(س3 + 1) ÷ (س + 1)] عندما تؤول س تؤول س إلى ـ1

(5) أوجد نهاية [(س3 + س ـ 2) ÷ (س ـ1)] عندما تؤول س تؤول س إلى 1 " استخدم القسمة المطولة أو س = 1 + و"

(6) أوجد نهاية [(2س2 ـ 5س ـ 3) ÷ (س2 ـ 4س + 3)] عندما س تؤول إلى 3 " لاحظ وجود العامل (س ـ 3) في البسط والمقام"

(7) أوجد نهاية [(س2 ـ 2س ـ ÷ (س2 + 9س + 14)] عندما س تؤول إلى ـ2 " لاحظ من س تؤول إلى ـ2 يكون (س+ 2) عامل

( أوجد نهاية [(جذر(3+س) ـ جذر(5 ـ س)) ÷ (س ـ1)] عندما س تؤول إلى 1 " الضرب في المرافق "

(9) أوجد نهاية [(3س ـ 1) ÷ (جذر(س) ـ جذر(1 ـ 2س)] عندما س تؤول إلى 1/3 " الضرب في المرافق "

(10) إذا كانت ك = (س2 ـ 4)(2س + 1) ، ل = 4س3 ـ س ، ع = 2س3 ـ 9س2 ـ 5س فاثبت أن

نهاية [(ل ÷ ك) + (ع ÷ ك)] تؤول إلى ـ1 عندما س تؤول إلى ـ 1/2



الغاية عندما يؤول المتغير لمالانهاية ويعتمد هذا النوع على أعلى قوة للمتغير حيث يجرى قسمة كل حدود المقدار على المتغير الذي يحمل أعلى قوة فإن كان المقام يساوي الصفر والبسط لا يساوي الصفر فالناتج صفر وهنا تتواجد أحدى حالات ثلاث

(1) أس اكبر قوة للمتغير في البسط أصغر من أس أكبر قوة للمتغير في المقام فالنهاية صفر مثل

نهاية [(2س) ÷ (س2 + 5)] عندما س تؤول إلى مالانهاية

(2) أس اكبر قوة للمتغير في البسط يساوي أس أكبر قوة للمتغير في المقام فالنهاية معامل أكبر قوة في البسط على معامل أكبر قوة في المقام مثل

نهاية [(2س3 + 1) ÷ (3س3 + س)] عندما س تؤول إلى مالانهاية فتكون الغاية 2÷3

(3) أس اكبر قوة للمتغير في البسط أكبر من أس أكبر قوة للمتغير في المقام فالنهاية مالانهاية مثل

نهاية [(3س3 + 1) (2س2 ـ 1)]



++++* في الحالات الثلاث يجب عند الحل القسمة على أكبر أس موجود في المقدار وبالتعويض نحصل على الجواب

++++* هناك نظرية وهي نهاية [(س م ـ ل م) ÷ (س ـ ل)] = م × ل م ـ 1) عندما س تؤول إلى ل

++++* هناك نتيجة وهي نهاية [(س م ـ ل م) ÷ (س ن ـ ل ن)] = (م÷ن) × ل(م ـ ن) عندما س تؤول إلى ل

++++* قد تستخدم نظرية ذات الحدين كفك لقوس مثل نهاية [((س ـ 1)9 + س ـ 3) ÷ (س2 ـ 4)] عندما س تؤول إلى 2 فنضع س = 1 + و أو تفك (س ـ 1)9 بالطبع في الحالة الأولى نكتفي بالحدود الثلاثة الأولى والبعض يرى الاكتفاء بالحدين الأوليين من المفكوك لكون الباقي بصفر عند وضع و = 0
حل التمارين الآتية :-

(1) أوجد نهاية [(س2 + 6س + ÷ (س2 + س ـ 12)] عندما س تؤول إلى ـ4 ( الجواب 2 ÷ 7)

(2) أوجد نهاية [(س2 ـ 81) ÷ (س2 ـ 27)] عندما س تؤول إلى 3 ( الجواب 4) يمكنك استخدام النتيجة أو ...

(3) أوجد نهاية [(16س4 ـ 1) ÷ (8س3 ـ 1)] عندما س تؤول إلى 0.5 ( الجواب 4 ÷ 3)

(4) أوجد نهاية [((2 + ص)4 ـ 16) ÷ (س)] عندما س تؤول إلى صفر ( الجواب 32)

(5) أوجد نهاية [(2س2 ـ 5س ـ 3 ) ÷ (2س2 + 5س + 2)] عندما س تؤول إلى ـ0.5 ( الجواب ـ7 ÷ 3)

(6) أوجد نهاية [(أس2 + ب س + حـ) ÷ (ب س2 + حـ س + د)] عندما س تؤول إلى مالانهاية ( الجواب أ ÷ ب)

(7) أوجد نهاية [(س2 + 3س + 10) ÷ (س2 + 12س + 35)] عندما س تؤول إلى ـ5 ( الجواب ـ7 ÷ 2)

( أوجد نهاية [(س2 + 2س ـ 3) ÷ (3س2 ـ 4س + 1)] عندما س تؤول إلى 2 ( الجواب 1)

(9) أوجد نهاية [(س2 + 6س + ÷ (س2 + س ـ 12)] عندما س تؤول إلى ـ4 ( الجواب 2 ÷ 7)

(10) أوجد نهاية [(243م5 ـ 32) ÷ (2م3 ـ ] عندما م تؤول إلى 2 ÷ 3 ( الجواب 20 ÷ 3)

(11) أوجد نهاية [(س2 + جذر( س ـ 6) ÷ (س2 ـ جذر(2) س + جذر(3) س ـ جذر(6))] عندما س تؤول إلى جذر(2) ( الجواب 4جذر(6) ـ

(12) أوجد نهاية [(س ـ 4) ÷ (س2 + 3س ـ 1)] عندما س تؤول إلى مالانهاية ( الجواب 0)

(13) أوجد نهاية [(2س + 4) ÷ (جذر(3س + 7) ـ جذر(س + 3))] عندما س تؤول إلى ـ2 ( الجواب 2)

(14) أوجد نهاية [(س ـ 4) ÷ (جذر(س) ـ 2)] عندما س تؤول إلى 4 ( الجواب 4)

(15) أوجد نهاية [(س3 + 3س2 + س ـ 5) ÷ س(س ـ 1)(س + 2)] عندما س تؤول إلى 1 ( الجواب 10 ÷ 3)