قاعدة [5] : المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين :
المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة الأولى
مثال (6) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية :
ص = (3 س2 - 1) (2 س3 + 3)
الحل :
نلاحظ أن هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين هما :
الدالة الأولى = (3 س2 - 1)
الدالة الثانية = (2 س3 + 3)
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية
× تفاضل الدالة الأولى
= (3 س2 - 1) × 6 س2 + (2 س3 + 3) × 6 س
= 18 س4 - 6 س2 + 12 س4 + 18 س
= 30 س4 - 6 س2 + 18 س
مثال (7) :
أحسب المشتقة الأولى للدالة :
ص = (س - 1) (3 س - 2) (2 س - 3)
الحل :
هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب ثلاث دوال وبتطبيق قاعدة حاصل ضرب الدالتين فإن :
الدالة الأولى = (س - 1)
الدالة الثانية = (3 س - 2) (2 س - 3)
وهى بدورها تعتبر حاصل ضرب دالتين
ص' = (س - 1) [(3 س - 2) × 2 + (2 س - 3) × 3]
+ (3 س - 2) (2 س - 3) × 1
= (س - 1) [6 س - 4 + 6 س - 9] + (3 س - 2) (2 س - 3)
= (س - 1) (12 س - 13) + (3 س - 2) (2 س - 3)
= 12 س2 - 25 س + 13 + 6 س2 - 13 س + 6
= 18 س2 - 38 س + 19
قاعدة [6] : تفاضل خارج قسمة دالتين :
تفاضل خارج قسمة دالتين = (المقام × تفاضل البسط - البسط
× تفاضل المقام) ÷ مربع المقام
مثال (8) :
أوجد تفاضل الدالة الآتية :
ص =
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' = (المقام × تفاضل البسط - البسط × تفاضل المقام) ÷ (مربع المقام)
= [(س2 + 1) (6 س + 1) - (3 س2 + س - 2) (2 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - (6 س3 + 2 س2 - 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - 6 س3 - 2 س2 + 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [- س2 + 10 س + 1] / (س2 + 1)2
حمل من هنا
المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية × تفاضل الدالة الأولى
مثال (6) :
أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية :
ص = (3 س2 - 1) (2 س3 + 3)
الحل :
نلاحظ أن هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين هما :
الدالة الأولى = (3 س2 - 1)
الدالة الثانية = (2 س3 + 3)
ص' = الدالة الأولى × تفاضل الدالة الثانية + الدالة الثانية
× تفاضل الدالة الأولى
= (3 س2 - 1) × 6 س2 + (2 س3 + 3) × 6 س
= 18 س4 - 6 س2 + 12 س4 + 18 س
= 30 س4 - 6 س2 + 18 س
مثال (7) :
أحسب المشتقة الأولى للدالة :
ص = (س - 1) (3 س - 2) (2 س - 3)
الحل :
هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب ثلاث دوال وبتطبيق قاعدة حاصل ضرب الدالتين فإن :
الدالة الأولى = (س - 1)
الدالة الثانية = (3 س - 2) (2 س - 3)
وهى بدورها تعتبر حاصل ضرب دالتين
ص' = (س - 1) [(3 س - 2) × 2 + (2 س - 3) × 3]
+ (3 س - 2) (2 س - 3) × 1
= (س - 1) [6 س - 4 + 6 س - 9] + (3 س - 2) (2 س - 3)
= (س - 1) (12 س - 13) + (3 س - 2) (2 س - 3)
= 12 س2 - 25 س + 13 + 6 س2 - 13 س + 6
= 18 س2 - 38 س + 19
قاعدة [6] : تفاضل خارج قسمة دالتين :
تفاضل خارج قسمة دالتين = (المقام × تفاضل البسط - البسط
× تفاضل المقام) ÷ مربع المقام
مثال (8) :
أوجد تفاضل الدالة الآتية :
ص =
الحل :
بتطبيق قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين نجد أن :
ص' = (المقام × تفاضل البسط - البسط × تفاضل المقام) ÷ (مربع المقام)
= [(س2 + 1) (6 س + 1) - (3 س2 + س - 2) (2 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - (6 س3 + 2 س2 - 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [6 س3 + 6 س + س2 + 1 - 6 س3 - 2 س2 + 4 س)]
÷ (س2 + 1)2
= [- س2 + 10 س + 1] / (س2 + 1)2
حمل من هنا
ahmed52002014-12-04, 10:26 am