مجموعة الأعداد الصحيحة
هل يمكن التعبير بعدد طبيعى عن كل من ؟
1 ) درجة الحرارة فى احدى المدن ثلاث درجات تحت الصفر
2 ) بناء جراج من 4 طوابق تحت سطح الأرض بأحد المدن لا يمكن
    لذلك كنا فى حاجة إلى مزيد من الأعداد فوجدت مجموعة الأعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة
هى امتداد لمجموعة الأعداد الطبيعية من الجهة الأخرى
هى مجموعة تعبر عن الأوضاع المتعاكسة يمين / يسار – فوق / تحت _ أعلى / أسفل
اذكر القيمة المقابلة للعدد فى الجهة الأخرى
العدد        القيمة المقابلة                          العدد        القيمة المقابلة
 1                                                         2                             
 3                                                         4
5                                                          6
لاحظ الأعداد الموجبة يعبر عنها جهة اليمين ، جهة الأعلى
الأعداد السالبة يعبر عنها جهة اليسار ، جهة الأسفل
مجموعة الأعداد الصحيحة ص = ص+È }0 {    È ص- 
ص+È }  0  =  {ط              ص+ = ع              ط ـــ }0 { = ص+ =ع
ص+ È  ص- = ص*          ص ــ } 0{ = ص*      ط É  ص
ع É ص       ص+ Ç  ص- = Æ               ص ــ ط = ص-
نشاط   
مثل مجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد  علما بأن خط الأعداد  هو خط مستقيم مقسم إلى
مسافات متساوية
ملاحظات     
الصفر أصغر من أى عدد موجب و أكبر من أى عدد سالب
الصفر ليس موجبا وليس سالبا
القيمة المطلقة للعدد الصحيح       
يرمز لها بالرمز ï    ê
القيمة المطلقة دائما موجبة لأنها تعبر عن مسافة بين موقع العدد و موقع الصفر
تدريب أوجد القيمة المطلقة للأعداد الآتية
-3 ، 5 ، -11 ، -9 ، 12 ، 35 ، -27
تدريب
- ê -3 ê =                                           ê -5 ê + ê 7 ê =
تدريب
اكتب مجموعات الأعداد التالية بطريقة السرد
مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من -2    أ = }-1 ،0 ،1 ،2 ،........... {
مجموعة الأعداد الصحيحة الأقل من -5    ب = -}6 ، -7 ، -8 ،...........{
مجموعة الأعداد الصحيحة بين -4 ، 3     ج = -}4 ،-3 ، -2 ، -1 ، 0 ،1 ،2 ، 3 {
ضع علامة    á  ،  ñ ،  =   
-7 ..... -9               3 ....... -10                     -4 ....... صفر
ô-11ô ....11         -7 ........--ô5              ô30 ..... 103
رتب الأعداد الصحيحة التالية تنازليا و تصاعديا مرة أخرى
6 ، -60 ، 2 ، -17 ، -22 ، صفر
1 ، -11 ، 3 ، -1 ، -8 ، 5
اكتب العدد السابق و العدد التالى لكل من
-9      13     23        صفر
المقصود بخط الأعداد
خط مستقيم مقسم إلى مسافات متساوية
الأعداد يمين الصفر موجبة الأعداد يسار الصفر سالبة
الجمع باستخدام خط الأعداد
جمع عددين موجبين : فمثلا 2 + 5
نتحرك من الصفر وحدتين حتى نصل للعدد 2 ثم نتحرك من 2 خمس وحدات يمينا فنصل للعدد 7
أو نتحرك من الصفر 5 وحدات يمينا ثم نتحرك من 5 وحدتين يمينا فنصل للعدد 7
تدريب : اجمع ومثل على خط الأعداد
3 + 4       6+4     7+3      5+8          10+5            6+9         4+5
جمع عددين سالبين : فمثلا (-3) + (-4)
نتحرك من الصفر 3 وحدات جهة اليسار حتى نصل للعدد -3 ثم نتحرك من -3 اربع وحدات جهة اليسار فنصل للعدد -7
أو ......................................................................................................................
مثل حاصل الجمع على خط الأعداد
-3+(-4)                -5 +(-2)               -6 +(-3)                 7+3
عموما جهة اليمين يمثل عددا موجبا وجهة اليسار يمثل عددا سالبا
جمع عددين أحدهما موجب و الآخر سالب : فمثلا 7+(-3)
نتحرك من الصفر 7 وحدات يمينا فنصل للعدد 7 ثم نتحرك من العدد 7 ثلاث وحات يسارا فنصل للعدد 4
أو نتحرك ..............................................................................................................
عموما
عند جمع عددين لهما نفس الأشارة نزل الأشارة و اجمع العددين
عددين مختلفى الأشارة نزل اشارة الكبير و اطرح
خـــــــــــــواص الجـــــمع فــــــــى ص
الأنغلاق : عدد صحيح + عدد صحيح = عدد صحيح
الأبدال : أ + ب = ب + أ           الدمج : أ +ب +ج = (أ+ج) +ب = (ج+ ب)+أ
محايد جمعى : (0) أ+0 =0+أ = أ       معكوس جمعى : أ +(-أ) = (-أ) +أ =0
المعكوس الجمعى هــــــــــو العدد بعكس الأشارة : أى عدد + معكوسه الجمعى =0
 
ضع الرمز المناسب ( ' ،   '    ، É ،É )
ô-9 +ô 3 ........ص                         }9 ……..{ ص        ¼ .............ص
 9  ........ص            6-6 ..........ص           } -3، 7 {............ ص
7+7                        8                                     11
استخدم خواص الجمع فى ص فى ايجاد ناتج 
-120+17 +120 +183                       2015 +180 +(-1015)
ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة
أولا قاعدة الأشارات :
+ × + = +                                                + ÷ + = +
- × - = +                                                   - ÷ - = +
+ × - = -                                                  + ÷ - = -
- × + = -                                                  - ÷ + = -
ملاحظات : أ ب = أ × ب                   ل م ن = ل × م × ن
       - (-أ ) = أ                         - ( أ ) = - أ
أوجد ناتج الضرب فى كل حالة
-6 ×3 =                    -7 × -4 =                   9 ×- (-8 ) =
51 ×-4 =                   -100 × -31 =              - ( -5 ) ×- (-11) =
خواص عملية الضرب فى ص
1 ) الأنغلاق : عدد صحيح × عدد صحيح = عدد صحيح
2 ) الأبدال : أ × ب = ب × أ
3 ) المحايد الضربى : أ × 1 = 1 × أ = أ
4 ) الدمج : أ × ب × ج = ( أ × ب ) × ج = ( أ × ج ) × ب
5 ) التوزيع : توزيع الضرب على عملية الجمع  أ × ( ب +ج ) = أ ×ب + أ × ج
5 × ( -3 + 7 )  = 5 × (-3 ) + 5 × 7 = .....
أوجد ناتج ما يأتى
-13 × -3 =                   5 ×-4 =                               -8 × 1 =
0 × -(11) =                 -(-6) × (-2) =                       -9 (7) =
ضع الرمز المناسب ' ، ' 
5 × -3......... ص                   -32 ÷ 8 ........... ص
8 ÷32 ............ ص                        -3 × 6 ...... ص
ملاحظات هامة
1 ) عملية الجمع ممكنة دائما فى ص مغلقة /  ابدالية / دامجة
2 )عملية الطرح ممكنة دائما فى ص مغلقة / غير ابدالية / غير دامجة
3 ) عملية الضرب ممكنة دائما فى ص مغلقة / ابدالية / دامجة
4 ) عملية القسمة غير ممكنة دائما أحيانا  ممكنة و أحيانا غير ممكنة غير (مغلقة/ابدالية/دامجة)
اذا كانت س =3 ، ص =-1 ، ع = -7 احسب : 2س + ص – ع ، 3س ص – ع
أوجد قيمة س إذا كانت 8 × س =-48       س × 9 = -45
الضرب المتكرر
اقرأ الأعداد التالية :

2	اثنان	العدد مرفوع للقوى 1	العدد نفسه
2 ^2	2 أس 2	العدد مرفوع للقوى 2	العدد × نفسه
2^3	2 أس 3	العدد مرفوع للقوى 3	العدد× نفسه × نفسه
2^4	2 أس 4	العدد مرفوع للقوى 4	......................
2^5	2 أس 5	العدد مرفوع للقوى 5	......................

 
  أى عدد أس صفر = 1 بشرط أن العدد لا يساوى صفر
  أى عدد أس 1 = نفس العدد                       واحد أس أى عدد = واحد
عند ضرب الأساسات المتساوية نجمع الأسس
3×3 = 3^2                 4 × 4 × 4 = 4^3
عند قسمة الأساسات المتساوية نطرح الأسس
(3)^5 ÷ (3)^2 =(3)^3
أوجد قيمة كل من :
(-7)^2                 (-2)^4               (-1)^6
أى عدد سالب أس عدد زوجى = عدد موجب
(-1)^5                (-2)^3                (-7)^5
أى عدد سالب أس عدد فردى = عدد سالب
أوجد قيمة ما يأتى
(-5)2× (2)2 =                                   (-2)4 + (-3)3 =
(-1)100 + (-1)101 =                       (-4)3 × (-1)5 =
(2)3 +(2)2 =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد ناتج كل من :
(2)6 × (2)5
(2)3 × (2)
(-2)3 ×(-3)4
       (-3)5
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ضع علامة      á ، ñ ، =
(4)2 .......... (8)                                                         (-6)2 ............(-12)
(9)2 .........(-3)4                                                        1    × (7)5 ...... (1)
                                                                                (7)5
 
   _________________________________________________________
إذا كان أ=(3)2 ،ب=(2)3  أوجد (أ-ب)5
تمارين عامة على الأعداد الصحيحة                 
أكمل مايأتى :
ص Ç ط = ......                                           ص+ Ç ص- =.........
ص ـــ ص- = ......                                       ص+ È }0{ = ......
--ô45ô= .........                                      مكملة ص- بالنسبة ص = .......
مكملة ط بالنسبة إلى ص = .......
أكمل بنفس التسلسل
-20 ،-18 ،-16 ، ..... ، ...... ، ......
-4 ،0 ، 8 ، ...... ، ...... ، ..... ، .....
-15 ، -10 ، -5 ، ...... ، ...... ، ......
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
رتب تصاعديا مرة وتنازليا مرة اخرى
-9 ،17 ،ô-9ô، -15 ، 16
 
3 ،-30 ، -ô8ô،0 ، 11
 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عبر رمزيا بطريقة السرد ومثل على خط الأعداد
مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة
 
 
مجموعة الأعداد المحصورة بين -3 ، 7
 
 
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد ناتج مايأتى :
-12 +7 = .....                                                                19 – (-11) =.....
-77 + (-3 +77 ) =......                                                  -5 +5 =    ......
-5 + (-2) =.......                                                            -2 + 8 = ......
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
استخدم خواص الجمع والطرح فى ص لإيجاد ناتج ما يلى
-5 + 8 – 15
 
 
-1 + 4 + 41
 
 
                   المعـــــــــــــــــــــــــــادلات و المتباينـــــــــــــــــــــــــــــــــــات
المعادلة:  جملة رياضية تتضمن علاقة تساوى بين عبارتين رياضياتين
            لها طرفان بينهما علاقة تســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــاوى
حدد المعادلات فيما يأتى:
س + 5
9 – 5 =4
س +7 = 12
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المتباينة :جملة رياضية تتضمن علاقة التبابين بين عبارتين رياضياتين
علاقات التباين    á  ، ñ ، ³ ، £
حدد المتباينات فيما يأتى:
س - 5á 3
س -17 = 3
3س ñ 7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
درجة المعادلة : تتحدد درجة المعادلة بأكبر قوة ( أس ) مرفوع لها المجهول ( الرمز )
س +5 = 7        الدرجة الاولى    المجهول س
س2 + 3 =8     الدرجة الثانية     المجهول س
4س3 – س = 29  الدرجة الثالثة   المجهول س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حدد الدرجة و المجهول :
س – 7 = 2                       س +3 á 2                      2س2 -2 = 14
3س – 2 ñ -2                                       س3 -9 = 18
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
باعتبار مجموعة التعويض س = }0 ،1 ،2 ،3 { أوجد مجموعة الحل فى كل من
س + 3 = 5
 
 
 
س +3 ñ 5
 
 
 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد مجموعة الحل فى ص
س + 8 = 19                                                  س -  12 = 40
3س – 2 = -19                                             3س – 2 = 5س + 8
ما العدد الذى إذا اضيف إليه 4 كان الناتج 14 ؟
نفرض العدد س
س +4 = 14    بحذف 4 من الطرفين أو إضافة -4 للطرفين
س + 4 - 4  = 14 –  4        س = 10       العدد هو 10
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ثلاثة أعداد طبيعية متتالية مجموعها  27 أوجد الأعداد  ؟
نفرض العدد الأول س       العدد الثانى س + 1      العدد الثالث س + 2
س + س +1 + س +2 = 27                3س + 3 = 27   بحذف 3 من الطرفين
3س + 3 – 3 = 27 – 3         3س = 24  بالقسمة ÷ 3    س = 8
الأعداد هى :    8 ، 9 ، 10
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
لو الأعداد زوجية أو فردية : الأول س  الثانى س+2 .....و هكذا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستطيل عرضه نصف طوله و محيطه 36سم أوجد طوله و عرضه .
نفرض العرض س       الطول 2س
المحيط = (الطول + العرض ) × 2    (2س + س ) ×2 = 36
6س = 36 بالقسمة ÷ 6      س = 6سم         2س = 12سم
الطول = 12سم      العرض = 6سم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد مجموعة حل المتباينة : س + 4 ñ 7 فى ط
بحذف 4 من الطرفين        س +4 – 4 ñ 7 – 4
                                   س ñ 3      م .ح = } 0 ،1 ،2 {    
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد م . ح فى ص :                            -1  ³2س + 3 ñ 13
بحذف 3 من الأطراف                     -1 - 3  ³2س+ 3 – 3 ñ 13 – 3
                                                       -4  ³ 2س ñ 10بالقسمة ÷2
                                                        -2 ³  س ñ 5
م .ح = -}2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ،3 ، 4 {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددان زوجيان متتاليان مجموعهما 30 أوجد العددين ؟
عددان فرديان متتاليان مجموعهما 16 أوجد العددين ؟
عدد إذا أضيف إلى ضعفه 9 كان الناتج 55 أوجد العدد ؟
عمر رجل ثلاثة أمثال عمر ابنه ومجموع عمريهما 72 سنة أوجد عمر كل منهما ؟
عدد البنات ثلاثة أمثال عدد البنين فى أحد الصفوف و كان عدد تلاميذ هذا الصف 120 تلميذ أوجد عدد البنين و عدد البنات .
 
 
المسافة بين نقطتين على خط الأعداد :
القيمة المطلقة وهى =  ô        عدد نقطة النهاية – عدد نقطة البداية  ô
أى نقطة فى المستوى الأحداثى تتحدد بزوج مرتب (س ، ص)
على مستوى إحداثى حدد مواضع النقط
أ( 3 ، 5 )             ب( 0، 1)         جـ(-3 ،5 )         د( 0 ، 9 )
ارسم الشكل و اذكر اسمه     أوجد طول أجـ ، طول ب جـ       أحسب مساحة الشكل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الأنتقال  
   يتحدد الأنتقال بمقدار و اتجاه
على مستوى احداثى حدد النقطتين أ( 2 ، 3 )   ،    ب( -3 ، 1 ) أوجد صورة أ ، ب
بانتقال (س+3 ، ص+2 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد صورة أ ب حيث أ( 2 ،3 ) ، ب( -2 ، 0 ) بانتقال قدره ( س+3 ، ص-2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
على مستوى احداثى ارسم المثلث أ ب جـ حيث أ(2 ، 3 ) ، ب(-2 ، 0 ) ،جـ(-1 ، 4 ) ثم
أوجد صورة المثلث أ ب جـ بانتقال قدره (س+2 ، ص+3 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمرين أكمل الجدول التالى

الصورة	الإنتقال	النقطة
( ..... ، ..... )	( س+3 ، ص+1 )	( 2 ، 3 )
( -3 ، 3 )	( س+2 ، ص-1 )	(... ، ... )
( . ، .)	( س+... ، ص+ ...)	( 0 ، -3 )
(.... ، .... )	( س+3 ، ص+1 )	( -4 ، -1 )

ملاحظات :
        النقطة + الانتقال = الصورة
        النقطة = الصورة – الانتقال
        الانتقال = الصورة – النقطة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الدائرة :
محيط الدائرة = 2ط نق = ط × طول القطر
مساحة الدائرة = ط نق2 = ط × نق × نق
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين :
دائرة طول قطرها 14سم أحسب مساحة سطحها و محيطها   علما بأن ط = 22 ، 3.14
                                                                                      7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
دائرة طول نصف قطرها 4سم قسمت إلى 5 قطاعات دائرية متساوية احسب مساحة القطاع
دائرة مساحة سطحها 314سم2 احسب طول محيطها    ط = 3.14
 
 
 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
دائرة محيطها 62.8 سم احسب مساحة سطحها         ط = 3.14
 
 
 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
دائرة مقسمة إلى 3 قطاعات متساوية مساحة سطح القطاع 37.7 سم2 أوجد طول نصف قطرها اعتبر ط 22 ، 3.14
                                7