المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل

23042014

مُساهمة 

. المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى




المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى
المتتــابعــات الحســـابيــة.
 الصورة العامة للمتتابعة الحسابية
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، ....... ، ل – 2ء ، ل- ء ، ل )
حيث أ الحد الأول ، ل الحد الأخير ، ء الأساس
 الأساس = ء =   -   = أى حد – الحد السابق له مباشرة
عندما ء موجبة تكون المتتابعة متزايدة
 الحد العام فى المتتابعة الحسابية .  = ل = أ + ( ن - 1) ء.
حيث   الحد النونى ، ن رتبة الحد ( وتسمى عدد الحدود فى حالة ما إذا كان الحد النونى هو الحد الأخير ل ) ، ويلاحظ أن معامل ء ينقص بمقدار واحد عن رتبة الحد .
 نظرية. المتتابعة   تكون متتابعة حسابية إذا كان حدها النونى مقدار        
من الدرجة الأولى فى ن ، ويكون أساسها هو معامل ن فى  
مثال1 أثبت أن المتتابعة   = (5 -2ن) حسابية ثم اكتب الحدود الخمسة الأولى ثم أوجد  
(الحل)   الحد النونى مقدار من الدرجة الأولى فى ن  المتتابعة حسابية
( ) = ( 3 ، 1 ، -1 ، -3 ، -5 ، ... )
 = 5- 2 × 19 = 5 – 38 = - 33
مثال2 فى المتتابعة الحسابية ( 25 ، 28 ، 31 ، ... ) أوجد  
(الحل) أ = 25 ، ء =   -   = 28 – 25 = 3
 = أ + ( ن – 1) ء = 25+ ( ن – 1 )×3 = 25+ 3ن -3 = 3ن +22
مثال3 فى المتتابعة الحسابية السابقة أوجد  
(الحل)     = 3ن +22    = 3 × 10 + 22 =52
حل آخر   = أ + 9ء = 25 + 9×3 = 25 + 27 = 52
مثال4 فى المتتابعة الحسابية ( 9 ، 5 ، 1 ، ... )
(أولاً) أوجد رتبة الحد الذى قيمته – 87
(ثانياً) هل يوجد حد قيمته – 98 فى هذه المتتابعة ؟
(الحل) أ = 9 ، ء = 5 - 9 = - 4
(أولاً)     = أ + ( ن -1) ء    = 9 + ( ن -1) × (- 4)
   = 9 -4ن +4 = -4ن + 13
 -4ن+ 13 = -87   -4ن = -100   ن = 25    = -87
(ثانياً) -4ن+13=-98  -4ن=-111  ن=   ص+
 لايوجد حد قيمته - 98 فى هذه المتتابعة
مثال5 فى المتتابعة الحسابية (-87،-82،-77، ... ،63) أوجد
(أولاً)عدد الحدود (ثانياً)   من النهاية
(ثالثاً) رتبة وقيمة أول حد موجب
(الحل) أ = -87 ، ء = (-82) – (-87) = 5 ، ل = 63
(أولاً)     = ل = أ + ( ن-1) ء  63 = -87 + ( ن-1) × 5
 63 = -87 + 5 ن – 5  63 + 87 + 5 = 5 ن  ن = 31
(ثانياً)   من النهاية =   من البداية = أ + 21ء = -87 + 105= 18
حل آخر   من النهاية = ل – 9ء = 63 – 9×5 = 63 – 45 = 18
(ثالثاً)   = -87 + ( ن-1) × 5 = -87 + 5 ن - 5 = 5 ن – 92
 >0  5ن – 92 >0  ن >    ن > 18.4
 ن = 19  أول حد موجب هو   = 5×19 – 92 = 3
مثال6 فى المتتابعة الحسابية (620، 617 ، 614 ، ... ) أوجد
(أولاً) رتبة وقيمة أول حد سالب
(ثانياً) رتبة وقيمة أول حد أصغر من 200
(الحل) أ = 620 ، ء = 617 – 620 = -3
= أ+ (ن-1)ء =620+ (ن-1)× (-3) =620 – 3ن +3 = 623 – 3ن
(أولاً)   <0  623 – 3ن <0  -3ن < -623
 ن > 207.7  ن = 208
 أول حد سالب هو   = أ + 207ء = 620 + 207 × (-3) = -1
(ثانياً)   < 200  623 – 3ن < 200  -3ن < -423
 ن > 141  ن = 142
 أول حد أصغر من 200 هو   = 623 – 3×142 = 197
مثال7 متتابعة حسابية حدها السادس يساوى 34 ومجموع حديها السابع والتاسع يساوى 88 أوجد المتتابعة . ثم أوجد رتبة أول حد قيمته أكبر من 105 فى هذه المتتابعة . " أول 2001 "
(الحل)   = أ + 5ء  أ + 5ء = 34 ... (1)
 = أ + 6ء + أ + 8ء = 2أ + 14ء = 88
 أ + 7ء = 44 ... (2)
بطرح (1) من (2)  2ء = 10  ء = 5
نعوض فى (1)  أ + 25 = 34  أ = 9
 المتتابعة هى ( 9 ، 14 ، 19 ، ... )
 = أ+ ( ن – 1) ء = 9+ ( ن – 1) × 5 = 9 + 5 ن – 5 = 5 ن + 4
 5 ن + 4 > 105  5 ن > 101  ن > 20.2
 ن = 21  أول حد قيمته أكبر من 105 هو  
مثال8 أوجد قيم س ، ص ، ع إذا كانت ( 8 ، س ، ص ، ... ، ع ، 68 )
متتابعة حسابية عدد حدودها 16 حداً .
(الحل) أ = 8 ، ل = 68 ، ن = 16
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  68 = 8 + 15ء
 15ء = 60  ء = 4  س = 8 + 4 = 12
، ص = 12 + 4 = 16 ، ع = 68 – 4 = 64
مثال9 متتابعة حسابية متزايدة مجموع حديها الثانى والسادس 10 ، ومجموع مربعيهما 122 أوجد المتتابعة .
(الحل) أ + ء + أ + 5ء = 10   2أ + 6ء = 10    أ + 3ء = 5
 أ = 5 – 3ء ... (1)
، ( أ + ء )2 + ( أ + 5ء )2 = 122   ... (2)      نعوض من (1) فى (2)
 (5 – 3ء + ء )2 + ( 5 – 3ء + 5ء )2 = 122
 ( 5 – 2ء )2 + ( 5 + 2ء )2 = 122
 25 – 20ء + 4ء2 + 25 + 20ء + 4ء2 = 122
 8ء2 = 72  ء2 = 9  ء = 3 (الجواب الآخر مرفوض)
نعوض فى (1)  أ = 5 – 9 = -4
 المتتابعة هى ( -4 ، -1 ، 2 ، ... )
مثال10 إذا كونت 5 أعداد متتابعة حسابية وكان مجموع الأعداد 45 ، وحاصل ضرب العدد الأول فى الخامس مضافاً إليه حاصل ضرب العدد الثانى فى الرابع يساوى 117 فما هى الأعداد ؟
(الحل) نفرض أن الأعداد هى أ - 2ء ، أ - ء ، أ ، أ + ء ، أ + 2ء
 5أ = 45  أ = 9 وتصبح الأعداد هى9-2ء ،9- ء ،9،9+ ء ،9+ 2ء
 (9- 2ء) (9 +2ء) + (9- ء) (9 +ء) = 117
 81 -4ء2 + 81 – ء2 = 117  - 5ء2 = - 45
 ء2 = 9  ء =   3
عندما ء = 3  الأعداد هى 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15
وعندما ء = -3  الأعداد هى 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3
ويلاحظ أنهم نفس الأعداد
مثال11 أربعة أعداد مجموعها 52 تكون متتابعة حسابية . أوجد الأعداد إذا كان مجموع مربعاتها 756 .
(الحل) نفرض أن الأعداد هى أ-3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء   4أ = 52   أ = 13  وتصبح الأعداد هى 13 – 3ء ، 13 – ء ، 13 + ء ، 13 + 3ء
 ( 13 – 3ء )2 + (13 – ء )2 + (13 + ء )2 + (13 + 3ء)2 = 756
 169 – 78ء + 9ء2 + 169 – 26ء + ء2 + 169 + 26ء + ء2 + 169 + 78ء + 9ء2 = 756
 20ء2 = 756 – 676 = 80  ء2 = 4  ء =   2
عندما ء = 2  الأعداد هى 7 ، 11 ، 15 ، 19
وعندما ء = -2    الأعداد هى 19 ، 15 ، 11 ، 7    وهى نفس الأعداد
مثال12 الحد الأخير من متتابعة حسابية يساوى عشرة أمثال حدها الأول ، والحد الذى قبل الأخير يساوى مجموع حديها الرابع والخامس . أثبت أن أساس المتتابعة يساوى حدها الأول وأوجد عدد حدودها .
(الحل) ل = 10أ ... (1)
ل – ء = أ + 3ء + أ + 4ء  ل = 2أ + 8 ء ... (2)
نعوض من (1) فى (2)    10أ = 2أ + 8 ء    8أ = 8 ء      أ = ء
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  10أ = أ + ( ن – 1 ) × أ
 10أ = أ + ن أ – أ  10أ = ن أ  ن = 10

الوســـط الحســــابى.
 إذا كونت أ ، ب ، جـ ثلاثة حدود متتالية من متتابعة حسابية فإن    
ب يسمى الوسط الحسابى بين أ ، جـ ويكون 2ب = أ + جـ
 إذا كونت ( أ ، س ، ص ، ... ، ع ، ل ) متتابعة حسابية فإن
س ، ص ، ... ، ع تسمى أوساطاً حسابية بين أ ، ل ويكون
عدد الأوساط = عدد حدود المتتابعة – 2
 الوسط الأول =   = أ + ء ، الوسط الثانى =   = أ + 2ء ، ...
الوسط الأخير = ل – ء ، الوسط قبل الأخير = ل – 2ء
مثال13 عددان وسطهما الحسابى9 وحاصل ضربهما 77 . أوجد العددين
(الحل) نفرض أن العددين هما س ، ص
   = 9  س + ص = 18  ص = 18 – س ... (1)
س ص = 77 ... (2) بالتعويض من (1) فى (2)
 س (18 – س ) = 77  18 س – س2 = 77
 س2 – 18 س + 77 = 0  ( س – 7 ) ( س – 11 ) = 0
إما س = 7 وبالتعويض فى (1)   ص = 11
أ، س = 11 وبالتعويض فى (1)   ص = 7  العددان هما 7 ، 11

مثال14 أدخل 12 وسطاً حسابياً بين 64 ، 25 ثم أوجد كل من الوسط الأول والوسط الأخير . " أول 97 "
(الحل) أ = 64 ، ل = 25 ، ن = 12 + 2 = 14
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  25 = 64 + 13ء
 - 39 = 13ء  ء = - 3
 الأوساط هى 61 ، 58 ، 55 ، ... ، 28
الوسط الأول = 61 ، الوسط الأخير = 28
مثال15 إذا أدخلنا عدة أوساطاً حسابية بين 6 ، 36 وكانت نسبة مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين تساوى3:1 فما عدد الأوساط ؟
(الحل) المتتابعة هى
( 6 ، 6 + ء ، 6 + 2 ء ، ... ، 36 – 2 ء ، 36 – ء ، 36 )
   =      =  

 36 + 9 ء = 72 – 3 ء  12 ء = 36  ء = 3
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  36 = 6 + ( ن – 1 ) × 3
 36 = 6 + 3 ن – 3  3 ن = 33  ن = 11
 عدد الأوساط = 9
مثال16 إذا كانت س ، ص ، ع أوساطاً حسابية بين أ ، ل
فأثبت أن ل – س = 3 ( ع – ص )
(الحل) المتتابعة هى ( أ ، س ، ص ، ع ، ل )
 س = أ + ء ، ص = أ + 2 ء ، ع = أ + 3 ء ، ل = أ + 4 ء
الطرف الأيمن = ( أ + 4 ء ) – ( أ + ء ) = 3 ء
، الطرف الأيسر = 3 ( أ + 3 ء – أ – 2 ء ) = 3 ء     الطرفان متساويان
مثال17 إذا كان ب2 = أ جـ فأثبت أن لو أ ، لو ب ، لو جـ فى تتابع حسابى
(الحل)   ب2 = أ جـ  لو ب2 = لو أ جـ
 2 لو ب = لو أ + لو جـ  لو ب وسطاً حسابياً بين لو أ ، لو جـ
 لو أ ، لو ب ، لو جـ فى تتابع حسابى

مجمـوع ن من حـدود متتـابعة حسـابية.

 ..جـ ن =   ( أ + ل )..
 ..جـ ن =   [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ].

ملاحظات
 يستخدم القانون الأول إذا عٌلم ن ، أ ، ل
 يستخدم القانون الثانى إذا عٌلم ن ، أ ، ء
مثال18 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 12 ،   = 21 أوجد المتتابعة ، ثم أوجد مجموع العشرين حداً الأولى منها . " أول 98 "
(الحل) أ + ء + أ + 2ء = 12  2أ + 3ء = 12 ... (1)
أ + 9ء = 21  أ = 21 – 9ء ... (2)
نعوض من (2) فى (1)  2 ( 21 – 9ء ) + 3ء = 12
 42 – 18ء + 3ء = 12  - 15ء = - 30      ء = 2
نعوض فى (2)  أ = 21 – 18 = 3
 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 20 =  [ 2 × 3 + ( 20 – 1) × 2 ] =10× ( 6 + 38 ) = 440
مثال19 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 13 ومجموع العشر حدود الأولى منها 235 أوجد المتتابعة . " ثان 96 "
(الحل) أ + ء = 13  أ = 13 – ء ... (1)
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 10 = 5 [ 2أ + 9ء ] = 235  2أ + 9ء = 47 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)  26 – 2ء + 9ء = 47
 7ء = 21  ء = 3
نعوض فى (1)  أ = 13 – 3 = 10
 المتتابعة هى ( 10 ، 13 ، 16 ، ... )
مثال20 أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية(1،3،5،...) ابتداء من حدها الأول ليكون مجموع هذه الحدود مساوياً 400  " أول 2000 "
(الحل) أ = 1 ، ء = 2 ، جـ ن = 400 ، ن = ؟؟
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 400 =   [ 2 + ( ن – 1 ) × 2 ] =   ( 2 + 2 ن – 2 )
=   × 2 ن = ن2  ن2 = 400  ن = 20
مثال21 أوجد   من المتتابعة الحسابية ( 25 ، 21 ، 17 ، ... ) ثم أوجد كم حداً يلزم أخذها من حدود هذه المتتابعة ابتداء من   ليكون المجموع مساوياً – 195 " أول 97 "
(الحل) أ = 25 ، ء = 21 – 25 = - 4
 = أ + 14ء = 25 + 14 × ( - 4 ) = 25 – 56 = - 31
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]    " لاحظ أن الحد الأول هنا هو   "
 - 195 =   [ 2 × ( - 31 ) + ( ن – 1 ) × ( - 4 ) ]
 - 195 =   ( -62 – 4 ن + 4 ) =   ( - 4 ن – 58 )
 - 195 = - 2 ن2 – 29 ن  2 ن2 + 29 ن – 195 = 0
 ( 2 ن + 39 ) ( ن – 5 ) = 0
إما 2 ن + 39 = 0 ومنها ن =   وهو مرفوض
أ، ن – 5 = 0 ومنها ن = 5
مثال22 متتابعة حسابية متناقصة مجموع حديها الرابع والخامس 13 وحاصل ضربهما 40 ، أوجد المتتابعة ومجموع الاثنى عشر حداً الأولى منها ." أول96 "
(الحل) أ + 3ء + أ + 4ء = 13  2أ + 7ء = 13
 2أ = 13 – 7ء  أ =   ... (1)
( أ + 3ء ) ( أ + 4ء ) = 40 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)
 (  + 3ء ) (  + 4ء ) = 40
 ( ) ( ) = 40 بالضرب × 4
 ( 13 – ء ) ( 13 + ء ) = 160  169 – ء2 = 160
 ء2 = 9  ء =   3
وحيث أن المتتابعة متناقصة  ء = - 3
نعوض فى (1)  أ =   = 17
 المتتابعة هى ( 17 ، 14 ، 11 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 12 = 6 [ 2 × 17 + 11 × ( - 3 ) ] = 6 × 1 = 6
مثال23 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 42 ،   ×   = 315
أوجد ( أولاً ) المتتابعة ( ثانياً )  
( ثالثاً ) عدد الحدود اللازم أخذها من هذه المتتابعة ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع مساوياً الصفر . " أغسطس97 "
(الحل) ( أولاً ) أ + ء + أ + 3ء = 42  2أ + 4ء = 42
 أ + 2ء = 21  أ = 21 – 2ء ... (1)
( أ + 2ء ) ( أ + 4ء ) = 315 ...(2)
نعوض من (1) فى (2)  21 ( 21 – 2ء + 4ء ) = 315
 21 ( 21 + 2ء ) = 315 بالقسمة على 21
 21 + 2ء = 15  2ء = - 6  ء = - 3
نعوض فى (1)  أ = 21 + 6 = 27
 المتتابعة هى ( 27 ، 24 ، 21 ، ... )
( ثانياً )   = أ + 11ء = 27 + 11 × ( - 3 ) = 27 – 33 = - 6
( ثالثاً )   جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
   [ 2 × 27 + ( ن – 1 ) × ( - 3 ) ] = 0 بالقسمة على  
 54 – 3 ن + 3 = 0  3 ن = 57  ن = 19
مثال24 أوجد مجموع حدود المتتابعة الحسابية ( 37 ، 34 ، 31 ،...،-80 )
(الحل) أ = 37 ، ء = 34 – 37 = - 3 ، ل = - 80
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  - 80 = 37 + ( ن – 1 ) × ( - 3 )
 - 80 = 37 – 3 ن + 3  3 ن = 120  ن = 40
 جـ ن =   ( أ + ل )  جـ 40 = 20 ( 37 -80 ) = - 860
مثال25 أوجد جـ ن من المتتابعة الحسابية ( ) = ( 2 ن – 3 )
(الحل) نضع ن = 1 فى    أ =   = - 1 ، ء = 2
جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]= [2× (-1) + ( ن – 1)×2]
= (- 2+ 2ن –2 ) =   ( 2ن – 4 ) = ن2 – 2ن
مثال26 أوجد   من المتتابعة الحسابية التى فيها جـ ن = ن2 – 2ن
(الحل) نضع ن = 1 فى جـ ن
 جـ 1 = 1 – 2 = - 1     = - 1  أ = - 1
نضع ن = 2 فى جـ ن
 جـ 2 = 0    +   = 0  - 1 +   = 0    = 1
 ء =   -   = 1 – ( - 1 ) = 2
= أ + ( ن – 1)ء = -1 + ( ن – 1) × 2 = -1 + 2ن –2 = 2ن - 3
مثال27 إذا كانت ( ) متتابعة حسابية حيث جـ ن مجموع ن من حدودها الأولى وكان جـ ¬ن × ( 4ن + 2 ) = جـ 2ن × ( ن + 1 )
فأثبت أن   = ن  
(الحل) نضع ن = 1  جـ1 × 6 = جـ2 × 2 بالقسمة على 2
 3  =   +    3أ = أ + أ + ء  أ = ء
  = أ + ( ن – 1) ء = أ + ( ن – 1) أ = أ + ن أ – أ = ن أ = ن  
مثال28 متتابعة حسابية مجموع حدودها الثانى والرابع والسادس 36 ومجموع العشر حدود الأولى منها 90 . أوجد المتتابعة ثم أوجد أقل عدد من حدود هذه المتتابعة يلزم أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالباً .
(الحل) ( أ + ء ) + ( أ + 3ء ) + ( أ + 5ء ) = 36  3أ + 9ء = 36
 أ + 3ء = 12  أ = 12 – 3ء ... (1)
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]  90 =   [ 2أ + 9ء ]  2أ + 9ء = 18 ... (2)
بالتعويض من (1) فى (2)
 24 – 6ء + 9ء = 18  3ء = - 6  ء = - 2
بالتعويض فى (1)  أ = 12 + 6 = 18
 المتتابعة هى ( 18 ، 16 ، 14 ، ... )
جـ ن =   [ 2 × 18 + ( ن – 1 ) × ( - 2 ) ] =   ( 36 – 2ن + 2 )
= ( 38 – 2ن ) <0  38 – 2ن <0  19< ن  ن = 20
مثال29 متتابعة حسابية حدها الخامس ( - 9 ) ومجموع حديها الثالث والسادس عشر يساوى صفراً . كم حداً يلزم أخذها من المتتابعة ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع ( - 72 ) . فسر معنى الجوابين .
(الحل) أ + 4ء = - 9  أ = - 9 – 4ء ... (1)
أ + 2ء + أ + 15ء = 0  2أ + 17ء = 0 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)  - 18 – 8ء + 17ء = 0
 9ء = 18  ء = 2
نعوض فى (1)  أ = - 9 – 8 = - 17
جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 - 72 =   [ - 34 + ( ن – 1 ) × 2 ]
 - 144 = ن ( - 34 + 2ن – 2 ) = ن ( 2ن – 36 ) = 2 ن2 – 36ن
 2 ن2 – 36ن + 144 = 0 بالقسمة على 2
 ن2 – 18ن + 72 = 0  ( ن – 6 ) ( ن – 12 ) = 0
إما ن = 6  مجموع الست حدود الأولى = - 72
أ، ن = 12  مجموع الاثنى عشر حداً الأولى = - 72
التفسير      = 0
مثال30 كم حداً يلزم أخذها من حدود المتتابعة الحسابية (33، 29 ، 25 ،...)
ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها أكبر ما يمكن وأوجد هذا المجموع .
(الحل) أ = 33 ، ء = 29 – 33 = - 4
يكون المجموع أكبر ما يمكن عندما نجمع الحدود غير السالبة
 = أ + ( ن – 1 ) ء = 33 + ( ن – 1 ) × ( - 4 ) = 33 -4ن + 4
 = 37 – 4ن > 0   - 4ن > - 37  ن < 9.25     ن = 9
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ ن =   [ 2 × 33 + 8 × ( - 4 ) ] =   × 34 = 153
مثال31 أوجد مجموع الحدود الثمانية الأخيرة من المتتابعة الحسابية
( 11 ، 14 ، 17 ، ... ، 71 )
(الحل) نكتب المتتابعة من النهاية فتكون ( 71 ، 68 ، 65 ، ... ، 11 )
أ = 71 ، ء = - 3 ، ن = 8
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ ن = 4 [ 2 × 71 + 7 × ( - 3 ) ] = 4 ( 142 – 21 ) = 484
مثال32 المتتابعة الحسابية ( 3 ، 7 ، 11 ، ... ) عدد حدودها زوجى ومجموع النصف الأول من حدودها أقل من مجموع بقية الحدود بمقدار 400 . أوجد عدد حدودها .
(الحل) أ =3 ، ء = 4 ، نفرض أن عدد الحدود = 2ن
مجموع المتتابعة = جـ 2ن =   [ 2أ + ( 2ن – 1 ) ء ]
= ن [ 6 + ( 2ن – 1 ) × 4 ] = ن ( 6 + 8ن -4 ) = 8 ن2 + 2ن
النصف الأول من الحدود يبدأ بـ   وينتهى بـ   وعدد حدوده ن
 مجموع النصف الأول =   (  +   ) =   [ أ + أ + ( ن – 1) ء ]
=   [ 6 + ( ن – 1 ) × 4 ] =   ( 6 + 4ن – 4 ) = 2 ن2 + ن
مجموع باقى الحدود = مجموع المتتابعة – مجموع النصف الأول
= ( 8 ن2 + 2ن ) – ( 2 ن2 + ن ) = 6 ن2 + ن
 ( 6 ن2 + ن ) – ( 2 ن2 + ن ) = 400  4 ن2 = 400
 ن2 = 100  ن = 10  عدد الحدود = 20 حداً
مثال33 أوجد مجموع الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 والتى لاتقبل القسمة على 7 .
(الحل) الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 هى
( 201 ، 202 ، 203 ، ... ، 499 )
وهى تكون متتابعة حسابية فيها أ = 201 ، ء = 1 ، ل = 499
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  499 = 201 + ( ن – 1 ) × 1
 499 = 201 + ن – 1  ن = 499 + 1 – 201 = 299
 مجموعها = جـ 1 =  ( أ + ل) =   ( 201 + 499 ) = 104650
الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 والتى تقبل القسمة على 7 هى
( 203 ، 210 ، 217 ، ... ، 497 )
وهى تكون متتابعة حسابية فيها أ = 203 ، ء = 7 ، ل = 497
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  497 = 203 + ( ن – 1 ) × 7
 497 = 203 + 7ن – 7  7ن = 497 + 7 - 203
 7ن = 301  ن = 43
 مجموعها = جـ 2 =  ( أ + ل) =   ( 203 + 497 ) = 15050
 المجموع المطلوب = جـ 1 – جـ 2 = 104650 – 15050 = 89600
مثال34 متتابعة حسابية مجموع الستة حدود الأولى منها 159 ، ومجموع السبعة حدود التالية لها 49 . أوجد هذه المتتابعة .
(الحل) جـ 6 = 159
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 159 =   ( 2أ + 5ء )  2أ + 5ء = 53 ... (1)
جـ 13 = 159 + 49 = 208
 208 =   ( 2أ + 12ء )  2أ + 12ء = 32 ... (2)
بطرح (1) من (2)  7ء = - 21  ء = - 3
نعوض فى (1)  2أ – 15 = 53  2أ = 68  أ = 34
 المتتابعة هى ( 34 ، 31 ، 28 ، ... )
مثال35 أوجد مجموع 20 حداً الأولى من المتتابعة (  ) حيث

 =   2ن – 4 ، ن فردية
 3ن + 2 ، ن زوجية

(الحل) المتتابعة الأولى :
 = 2ن – 4 عندما ن   { 1 ، 3 ، 5 ، ... }
وهى ( - 2 ، 2 ، 6 ، ... ) وفيها أ = - 2 ، ء = 4 ، ن = 10
مجموعها =   [ 2 × - 2 + 9 × 4 ] = 160
المتتابعة الثانية :
 = 3ن + 2 عندما ن   { 2 ، 4 ، 6 ، ... }
وهى ( 8 ، 14 ، 20 ، ... ) وفيها أ = 8 ، ء = 6 ، ن = 10
مجموعها =   [ 2 × 8 + 9 × 6 ] = 350
 مجموع العشرين حداً = 160 + 350 = 510
مثال36 وضعت 20 كرة على خط مستقيم بحيث كانت المسافة بين كل كرتين متتاليتين 5 أمتار . أوجد المسافة التى يقطعها شخص ما يبدأ من موضع الكرة الأولى ليحضر هذه الكرات واحدة بعد الأخرى ويضعها فى صندوق عند موضع الكرة الأولى .
(الحل)
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار أول كرة = 0 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار ثان كرة = 10 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار ثالث كرة = 20 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار رابع كرة = 30 متراً
 مجموع المسافات = 0 + 10 + 20 + 30 + 40 + ... إلى 20 حداً
وهذه متتابعة حسابية فيها أ = 0 ، ء = 10 ، ن = 20
 مجموع المسافات =  [ 2 × 0 + 19 × 10 ] = 1900 متراً
مثال37 متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن ثلاثة أمثال حدها الثانى بمقدار 6 والوسط الحسابى لحديها الخامس والثامن = 25 أوجد المتتابعة . أوجد أصغر عدد من الحدود يلزم أخذه منها ابتداء من الحد الثالث ليكون المجموع =810 .
(الحل)  - 3  = 6  أ + 6ء – 3 ( أ + ء ) = 6
 أ+6ء – 3أ – 3ء = 6  - 2أ+3ء = 6   ... (1)
 = 25  2أ + 11ء = 50 ... (2)
بجمع (1) ، (2)  14ء = 56  ء = 4
نعوض فى (2)  2أ + 44 = 50  2أ = 6  أ = 3
 المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]  مع ملاحظة أننا سنبدأ من   = 11
 810 =   [ 2 × 11 + ( ن – 1 ) × 4 ]
 1620 = ن ( 22 + 4ن – 4 ) = ن ( 4ن + 18 ) = 4ن2 + 18ن
 4ن2 + 18ن – 1620 = 0 بالقسمة على 2
 2ن2 + 9ن – 810 = 0  ( 2ن + 45 ) ( ن – 18 ) = 0
 ن = 18 والجواب الآخر مرفوض
مثال38 متتابعة حسابية حدها الأول = 12 ، حدها الأخير = - 26 ومجموع حدودها = - 140 . أوجد هذه المتتابعة . " دور ثان 99 "
(الحل) أ = 12 ، ل = - 26 ، جـ ن = - 140
 جـ ن =   ( أ + ل )
 - 140 =   ( 12 – 26 ) = - 7ن  ن = 20
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  - 26 = 12 + 19ء
 - 38 = 19ء  ء = - 2
 المتتابعة هى ( 12 ، 10 ، 8 ، ... ، - 26 )
http://arabsh.com/files/0c3f414867f1/المتتابعات-الحسابية-كدوال-خطية-presentation-rar.html

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

مُشاطرة هذه المقالة على: diggdeliciousredditstumbleuponslashdotyahoogooglelive

مُساهمة في 04/12/14, 10:25 am  ahmed5200

جزاك الله خيرا

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

مُساهمة في 01/02/15, 01:25 am  عبدالسلام شرف

جزاك الله خيرا

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة


 
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى