المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل

23042014

مُساهمة 

MdrsAwnLayn المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى




المتتابعة الحسابية بكل بساطة لطلاب تانية ثانوى
المتتــابعــات الحســـابيــة.
 الصورة العامة للمتتابعة الحسابية
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، ....... ، ل – 2ء ، ل- ء ، ل )
حيث أ الحد الأول ، ل الحد الأخير ، ء الأساس
 الأساس = ء =   -   = أى حد – الحد السابق له مباشرة
عندما ء موجبة تكون المتتابعة متزايدة
 الحد العام فى المتتابعة الحسابية .  = ل = أ + ( ن - 1) ء.
حيث   الحد النونى ، ن رتبة الحد ( وتسمى عدد الحدود فى حالة ما إذا كان الحد النونى هو الحد الأخير ل ) ، ويلاحظ أن معامل ء ينقص بمقدار واحد عن رتبة الحد .
 نظرية. المتتابعة   تكون متتابعة حسابية إذا كان حدها النونى مقدار        
من الدرجة الأولى فى ن ، ويكون أساسها هو معامل ن فى  
مثال1 أثبت أن المتتابعة   = (5 -2ن) حسابية ثم اكتب الحدود الخمسة الأولى ثم أوجد  
(الحل)   الحد النونى مقدار من الدرجة الأولى فى ن  المتتابعة حسابية
( ) = ( 3 ، 1 ، -1 ، -3 ، -5 ، ... )
 = 5- 2 × 19 = 5 – 38 = - 33
مثال2 فى المتتابعة الحسابية ( 25 ، 28 ، 31 ، ... ) أوجد  
(الحل) أ = 25 ، ء =   -   = 28 – 25 = 3
 = أ + ( ن – 1) ء = 25+ ( ن – 1 )×3 = 25+ 3ن -3 = 3ن +22
مثال3 فى المتتابعة الحسابية السابقة أوجد  
(الحل)     = 3ن +22    = 3 × 10 + 22 =52
حل آخر   = أ + 9ء = 25 + 9×3 = 25 + 27 = 52
مثال4 فى المتتابعة الحسابية ( 9 ، 5 ، 1 ، ... )
(أولاً) أوجد رتبة الحد الذى قيمته – 87
(ثانياً) هل يوجد حد قيمته – 98 فى هذه المتتابعة ؟
(الحل) أ = 9 ، ء = 5 - 9 = - 4
(أولاً)     = أ + ( ن -1) ء    = 9 + ( ن -1) × (- 4)
   = 9 -4ن +4 = -4ن + 13
 -4ن+ 13 = -87   -4ن = -100   ن = 25    = -87
(ثانياً) -4ن+13=-98  -4ن=-111  ن=   ص+
 لايوجد حد قيمته - 98 فى هذه المتتابعة
مثال5 فى المتتابعة الحسابية (-87،-82،-77، ... ،63) أوجد
(أولاً)عدد الحدود (ثانياً)   من النهاية
(ثالثاً) رتبة وقيمة أول حد موجب
(الحل) أ = -87 ، ء = (-82) – (-87) = 5 ، ل = 63
(أولاً)     = ل = أ + ( ن-1) ء  63 = -87 + ( ن-1) × 5
 63 = -87 + 5 ن – 5  63 + 87 + 5 = 5 ن  ن = 31
(ثانياً)   من النهاية =   من البداية = أ + 21ء = -87 + 105= 18
حل آخر   من النهاية = ل – 9ء = 63 – 9×5 = 63 – 45 = 18
(ثالثاً)   = -87 + ( ن-1) × 5 = -87 + 5 ن - 5 = 5 ن – 92
 >0  5ن – 92 >0  ن >    ن > 18.4
 ن = 19  أول حد موجب هو   = 5×19 – 92 = 3
مثال6 فى المتتابعة الحسابية (620، 617 ، 614 ، ... ) أوجد
(أولاً) رتبة وقيمة أول حد سالب
(ثانياً) رتبة وقيمة أول حد أصغر من 200
(الحل) أ = 620 ، ء = 617 – 620 = -3
= أ+ (ن-1)ء =620+ (ن-1)× (-3) =620 – 3ن +3 = 623 – 3ن
(أولاً)   <0  623 – 3ن <0  -3ن < -623
 ن > 207.7  ن = 208
 أول حد سالب هو   = أ + 207ء = 620 + 207 × (-3) = -1
(ثانياً)   < 200  623 – 3ن < 200  -3ن < -423
 ن > 141  ن = 142
 أول حد أصغر من 200 هو   = 623 – 3×142 = 197
مثال7 متتابعة حسابية حدها السادس يساوى 34 ومجموع حديها السابع والتاسع يساوى 88 أوجد المتتابعة . ثم أوجد رتبة أول حد قيمته أكبر من 105 فى هذه المتتابعة . " أول 2001 "
(الحل)   = أ + 5ء  أ + 5ء = 34 ... (1)
 = أ + 6ء + أ + 8ء = 2أ + 14ء = 88
 أ + 7ء = 44 ... (2)
بطرح (1) من (2)  2ء = 10  ء = 5
نعوض فى (1)  أ + 25 = 34  أ = 9
 المتتابعة هى ( 9 ، 14 ، 19 ، ... )
 = أ+ ( ن – 1) ء = 9+ ( ن – 1) × 5 = 9 + 5 ن – 5 = 5 ن + 4
 5 ن + 4 > 105  5 ن > 101  ن > 20.2
 ن = 21  أول حد قيمته أكبر من 105 هو  
مثال8 أوجد قيم س ، ص ، ع إذا كانت ( 8 ، س ، ص ، ... ، ع ، 68 )
متتابعة حسابية عدد حدودها 16 حداً .
(الحل) أ = 8 ، ل = 68 ، ن = 16
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  68 = 8 + 15ء
 15ء = 60  ء = 4  س = 8 + 4 = 12
، ص = 12 + 4 = 16 ، ع = 68 – 4 = 64
مثال9 متتابعة حسابية متزايدة مجموع حديها الثانى والسادس 10 ، ومجموع مربعيهما 122 أوجد المتتابعة .
(الحل) أ + ء + أ + 5ء = 10   2أ + 6ء = 10    أ + 3ء = 5
 أ = 5 – 3ء ... (1)
، ( أ + ء )2 + ( أ + 5ء )2 = 122   ... (2)      نعوض من (1) فى (2)
 (5 – 3ء + ء )2 + ( 5 – 3ء + 5ء )2 = 122
 ( 5 – 2ء )2 + ( 5 + 2ء )2 = 122
 25 – 20ء + 4ء2 + 25 + 20ء + 4ء2 = 122
 8ء2 = 72  ء2 = 9  ء = 3 (الجواب الآخر مرفوض)
نعوض فى (1)  أ = 5 – 9 = -4
 المتتابعة هى ( -4 ، -1 ، 2 ، ... )
مثال10 إذا كونت 5 أعداد متتابعة حسابية وكان مجموع الأعداد 45 ، وحاصل ضرب العدد الأول فى الخامس مضافاً إليه حاصل ضرب العدد الثانى فى الرابع يساوى 117 فما هى الأعداد ؟
(الحل) نفرض أن الأعداد هى أ - 2ء ، أ - ء ، أ ، أ + ء ، أ + 2ء
 5أ = 45  أ = 9 وتصبح الأعداد هى9-2ء ،9- ء ،9،9+ ء ،9+ 2ء
 (9- 2ء) (9 +2ء) + (9- ء) (9 +ء) = 117
 81 -4ء2 + 81 – ء2 = 117  - 5ء2 = - 45
 ء2 = 9  ء =   3
عندما ء = 3  الأعداد هى 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15
وعندما ء = -3  الأعداد هى 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3
ويلاحظ أنهم نفس الأعداد
مثال11 أربعة أعداد مجموعها 52 تكون متتابعة حسابية . أوجد الأعداد إذا كان مجموع مربعاتها 756 .
(الحل) نفرض أن الأعداد هى أ-3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء   4أ = 52   أ = 13  وتصبح الأعداد هى 13 – 3ء ، 13 – ء ، 13 + ء ، 13 + 3ء
 ( 13 – 3ء )2 + (13 – ء )2 + (13 + ء )2 + (13 + 3ء)2 = 756
 169 – 78ء + 9ء2 + 169 – 26ء + ء2 + 169 + 26ء + ء2 + 169 + 78ء + 9ء2 = 756
 20ء2 = 756 – 676 = 80  ء2 = 4  ء =   2
عندما ء = 2  الأعداد هى 7 ، 11 ، 15 ، 19
وعندما ء = -2    الأعداد هى 19 ، 15 ، 11 ، 7    وهى نفس الأعداد
مثال12 الحد الأخير من متتابعة حسابية يساوى عشرة أمثال حدها الأول ، والحد الذى قبل الأخير يساوى مجموع حديها الرابع والخامس . أثبت أن أساس المتتابعة يساوى حدها الأول وأوجد عدد حدودها .
(الحل) ل = 10أ ... (1)
ل – ء = أ + 3ء + أ + 4ء  ل = 2أ + 8 ء ... (2)
نعوض من (1) فى (2)    10أ = 2أ + 8 ء    8أ = 8 ء      أ = ء
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  10أ = أ + ( ن – 1 ) × أ
 10أ = أ + ن أ – أ  10أ = ن أ  ن = 10

الوســـط الحســــابى.
 إذا كونت أ ، ب ، جـ ثلاثة حدود متتالية من متتابعة حسابية فإن    
ب يسمى الوسط الحسابى بين أ ، جـ ويكون 2ب = أ + جـ
 إذا كونت ( أ ، س ، ص ، ... ، ع ، ل ) متتابعة حسابية فإن
س ، ص ، ... ، ع تسمى أوساطاً حسابية بين أ ، ل ويكون
عدد الأوساط = عدد حدود المتتابعة – 2
 الوسط الأول =   = أ + ء ، الوسط الثانى =   = أ + 2ء ، ...
الوسط الأخير = ل – ء ، الوسط قبل الأخير = ل – 2ء
مثال13 عددان وسطهما الحسابى9 وحاصل ضربهما 77 . أوجد العددين
(الحل) نفرض أن العددين هما س ، ص
   = 9  س + ص = 18  ص = 18 – س ... (1)
س ص = 77 ... (2) بالتعويض من (1) فى (2)
 س (18 – س ) = 77  18 س – س2 = 77
 س2 – 18 س + 77 = 0  ( س – 7 ) ( س – 11 ) = 0
إما س = 7 وبالتعويض فى (1)   ص = 11
أ، س = 11 وبالتعويض فى (1)   ص = 7  العددان هما 7 ، 11

مثال14 أدخل 12 وسطاً حسابياً بين 64 ، 25 ثم أوجد كل من الوسط الأول والوسط الأخير . " أول 97 "
(الحل) أ = 64 ، ل = 25 ، ن = 12 + 2 = 14
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  25 = 64 + 13ء
 - 39 = 13ء  ء = - 3
 الأوساط هى 61 ، 58 ، 55 ، ... ، 28
الوسط الأول = 61 ، الوسط الأخير = 28
مثال15 إذا أدخلنا عدة أوساطاً حسابية بين 6 ، 36 وكانت نسبة مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين تساوى3:1 فما عدد الأوساط ؟
(الحل) المتتابعة هى
( 6 ، 6 + ء ، 6 + 2 ء ، ... ، 36 – 2 ء ، 36 – ء ، 36 )
   =      =  

 36 + 9 ء = 72 – 3 ء  12 ء = 36  ء = 3
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  36 = 6 + ( ن – 1 ) × 3
 36 = 6 + 3 ن – 3  3 ن = 33  ن = 11
 عدد الأوساط = 9
مثال16 إذا كانت س ، ص ، ع أوساطاً حسابية بين أ ، ل
فأثبت أن ل – س = 3 ( ع – ص )
(الحل) المتتابعة هى ( أ ، س ، ص ، ع ، ل )
 س = أ + ء ، ص = أ + 2 ء ، ع = أ + 3 ء ، ل = أ + 4 ء
الطرف الأيمن = ( أ + 4 ء ) – ( أ + ء ) = 3 ء
، الطرف الأيسر = 3 ( أ + 3 ء – أ – 2 ء ) = 3 ء     الطرفان متساويان
مثال17 إذا كان ب2 = أ جـ فأثبت أن لو أ ، لو ب ، لو جـ فى تتابع حسابى
(الحل)   ب2 = أ جـ  لو ب2 = لو أ جـ
 2 لو ب = لو أ + لو جـ  لو ب وسطاً حسابياً بين لو أ ، لو جـ
 لو أ ، لو ب ، لو جـ فى تتابع حسابى

مجمـوع ن من حـدود متتـابعة حسـابية.

 ..جـ ن =   ( أ + ل )..
 ..جـ ن =   [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ].

ملاحظات
 يستخدم القانون الأول إذا عٌلم ن ، أ ، ل
 يستخدم القانون الثانى إذا عٌلم ن ، أ ، ء
مثال18 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 12 ،   = 21 أوجد المتتابعة ، ثم أوجد مجموع العشرين حداً الأولى منها . " أول 98 "
(الحل) أ + ء + أ + 2ء = 12  2أ + 3ء = 12 ... (1)
أ + 9ء = 21  أ = 21 – 9ء ... (2)
نعوض من (2) فى (1)  2 ( 21 – 9ء ) + 3ء = 12
 42 – 18ء + 3ء = 12  - 15ء = - 30      ء = 2
نعوض فى (2)  أ = 21 – 18 = 3
 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 20 =  [ 2 × 3 + ( 20 – 1) × 2 ] =10× ( 6 + 38 ) = 440
مثال19 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 13 ومجموع العشر حدود الأولى منها 235 أوجد المتتابعة . " ثان 96 "
(الحل) أ + ء = 13  أ = 13 – ء ... (1)
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 10 = 5 [ 2أ + 9ء ] = 235  2أ + 9ء = 47 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)  26 – 2ء + 9ء = 47
 7ء = 21  ء = 3
نعوض فى (1)  أ = 13 – 3 = 10
 المتتابعة هى ( 10 ، 13 ، 16 ، ... )
مثال20 أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية(1،3،5،...) ابتداء من حدها الأول ليكون مجموع هذه الحدود مساوياً 400  " أول 2000 "
(الحل) أ = 1 ، ء = 2 ، جـ ن = 400 ، ن = ؟؟
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 400 =   [ 2 + ( ن – 1 ) × 2 ] =   ( 2 + 2 ن – 2 )
=   × 2 ن = ن2  ن2 = 400  ن = 20
مثال21 أوجد   من المتتابعة الحسابية ( 25 ، 21 ، 17 ، ... ) ثم أوجد كم حداً يلزم أخذها من حدود هذه المتتابعة ابتداء من   ليكون المجموع مساوياً – 195 " أول 97 "
(الحل) أ = 25 ، ء = 21 – 25 = - 4
 = أ + 14ء = 25 + 14 × ( - 4 ) = 25 – 56 = - 31
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]    " لاحظ أن الحد الأول هنا هو   "
 - 195 =   [ 2 × ( - 31 ) + ( ن – 1 ) × ( - 4 ) ]
 - 195 =   ( -62 – 4 ن + 4 ) =   ( - 4 ن – 58 )
 - 195 = - 2 ن2 – 29 ن  2 ن2 + 29 ن – 195 = 0
 ( 2 ن + 39 ) ( ن – 5 ) = 0
إما 2 ن + 39 = 0 ومنها ن =   وهو مرفوض
أ، ن – 5 = 0 ومنها ن = 5
مثال22 متتابعة حسابية متناقصة مجموع حديها الرابع والخامس 13 وحاصل ضربهما 40 ، أوجد المتتابعة ومجموع الاثنى عشر حداً الأولى منها ." أول96 "
(الحل) أ + 3ء + أ + 4ء = 13  2أ + 7ء = 13
 2أ = 13 – 7ء  أ =   ... (1)
( أ + 3ء ) ( أ + 4ء ) = 40 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)
 (  + 3ء ) (  + 4ء ) = 40
 ( ) ( ) = 40 بالضرب × 4
 ( 13 – ء ) ( 13 + ء ) = 160  169 – ء2 = 160
 ء2 = 9  ء =   3
وحيث أن المتتابعة متناقصة  ء = - 3
نعوض فى (1)  أ =   = 17
 المتتابعة هى ( 17 ، 14 ، 11 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ 12 = 6 [ 2 × 17 + 11 × ( - 3 ) ] = 6 × 1 = 6
مثال23 ( ) متتابعة حسابية فيها   = 42 ،   ×   = 315
أوجد ( أولاً ) المتتابعة ( ثانياً )  
( ثالثاً ) عدد الحدود اللازم أخذها من هذه المتتابعة ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع مساوياً الصفر . " أغسطس97 "
(الحل) ( أولاً ) أ + ء + أ + 3ء = 42  2أ + 4ء = 42
 أ + 2ء = 21  أ = 21 – 2ء ... (1)
( أ + 2ء ) ( أ + 4ء ) = 315 ...(2)
نعوض من (1) فى (2)  21 ( 21 – 2ء + 4ء ) = 315
 21 ( 21 + 2ء ) = 315 بالقسمة على 21
 21 + 2ء = 15  2ء = - 6  ء = - 3
نعوض فى (1)  أ = 21 + 6 = 27
 المتتابعة هى ( 27 ، 24 ، 21 ، ... )
( ثانياً )   = أ + 11ء = 27 + 11 × ( - 3 ) = 27 – 33 = - 6
( ثالثاً )   جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
   [ 2 × 27 + ( ن – 1 ) × ( - 3 ) ] = 0 بالقسمة على  
 54 – 3 ن + 3 = 0  3 ن = 57  ن = 19
مثال24 أوجد مجموع حدود المتتابعة الحسابية ( 37 ، 34 ، 31 ،...،-80 )
(الحل) أ = 37 ، ء = 34 – 37 = - 3 ، ل = - 80
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  - 80 = 37 + ( ن – 1 ) × ( - 3 )
 - 80 = 37 – 3 ن + 3  3 ن = 120  ن = 40
 جـ ن =   ( أ + ل )  جـ 40 = 20 ( 37 -80 ) = - 860
مثال25 أوجد جـ ن من المتتابعة الحسابية ( ) = ( 2 ن – 3 )
(الحل) نضع ن = 1 فى    أ =   = - 1 ، ء = 2
جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]= [2× (-1) + ( ن – 1)×2]
= (- 2+ 2ن –2 ) =   ( 2ن – 4 ) = ن2 – 2ن
مثال26 أوجد   من المتتابعة الحسابية التى فيها جـ ن = ن2 – 2ن
(الحل) نضع ن = 1 فى جـ ن
 جـ 1 = 1 – 2 = - 1     = - 1  أ = - 1
نضع ن = 2 فى جـ ن
 جـ 2 = 0    +   = 0  - 1 +   = 0    = 1
 ء =   -   = 1 – ( - 1 ) = 2
= أ + ( ن – 1)ء = -1 + ( ن – 1) × 2 = -1 + 2ن –2 = 2ن - 3
مثال27 إذا كانت ( ) متتابعة حسابية حيث جـ ن مجموع ن من حدودها الأولى وكان جـ ¬ن × ( 4ن + 2 ) = جـ 2ن × ( ن + 1 )
فأثبت أن   = ن  
(الحل) نضع ن = 1  جـ1 × 6 = جـ2 × 2 بالقسمة على 2
 3  =   +    3أ = أ + أ + ء  أ = ء
  = أ + ( ن – 1) ء = أ + ( ن – 1) أ = أ + ن أ – أ = ن أ = ن  
مثال28 متتابعة حسابية مجموع حدودها الثانى والرابع والسادس 36 ومجموع العشر حدود الأولى منها 90 . أوجد المتتابعة ثم أوجد أقل عدد من حدود هذه المتتابعة يلزم أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالباً .
(الحل) ( أ + ء ) + ( أ + 3ء ) + ( أ + 5ء ) = 36  3أ + 9ء = 36
 أ + 3ء = 12  أ = 12 – 3ء ... (1)
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]  90 =   [ 2أ + 9ء ]  2أ + 9ء = 18 ... (2)
بالتعويض من (1) فى (2)
 24 – 6ء + 9ء = 18  3ء = - 6  ء = - 2
بالتعويض فى (1)  أ = 12 + 6 = 18
 المتتابعة هى ( 18 ، 16 ، 14 ، ... )
جـ ن =   [ 2 × 18 + ( ن – 1 ) × ( - 2 ) ] =   ( 36 – 2ن + 2 )
= ( 38 – 2ن ) <0  38 – 2ن <0  19< ن  ن = 20
مثال29 متتابعة حسابية حدها الخامس ( - 9 ) ومجموع حديها الثالث والسادس عشر يساوى صفراً . كم حداً يلزم أخذها من المتتابعة ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع ( - 72 ) . فسر معنى الجوابين .
(الحل) أ + 4ء = - 9  أ = - 9 – 4ء ... (1)
أ + 2ء + أ + 15ء = 0  2أ + 17ء = 0 ... (2)
نعوض من (1) فى (2)  - 18 – 8ء + 17ء = 0
 9ء = 18  ء = 2
نعوض فى (1)  أ = - 9 – 8 = - 17
جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 - 72 =   [ - 34 + ( ن – 1 ) × 2 ]
 - 144 = ن ( - 34 + 2ن – 2 ) = ن ( 2ن – 36 ) = 2 ن2 – 36ن
 2 ن2 – 36ن + 144 = 0 بالقسمة على 2
 ن2 – 18ن + 72 = 0  ( ن – 6 ) ( ن – 12 ) = 0
إما ن = 6  مجموع الست حدود الأولى = - 72
أ، ن = 12  مجموع الاثنى عشر حداً الأولى = - 72
التفسير      = 0
مثال30 كم حداً يلزم أخذها من حدود المتتابعة الحسابية (33، 29 ، 25 ،...)
ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها أكبر ما يمكن وأوجد هذا المجموع .
(الحل) أ = 33 ، ء = 29 – 33 = - 4
يكون المجموع أكبر ما يمكن عندما نجمع الحدود غير السالبة
 = أ + ( ن – 1 ) ء = 33 + ( ن – 1 ) × ( - 4 ) = 33 -4ن + 4
 = 37 – 4ن > 0   - 4ن > - 37  ن < 9.25     ن = 9
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ ن =   [ 2 × 33 + 8 × ( - 4 ) ] =   × 34 = 153
مثال31 أوجد مجموع الحدود الثمانية الأخيرة من المتتابعة الحسابية
( 11 ، 14 ، 17 ، ... ، 71 )
(الحل) نكتب المتتابعة من النهاية فتكون ( 71 ، 68 ، 65 ، ... ، 11 )
أ = 71 ، ء = - 3 ، ن = 8
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 جـ ن = 4 [ 2 × 71 + 7 × ( - 3 ) ] = 4 ( 142 – 21 ) = 484
مثال32 المتتابعة الحسابية ( 3 ، 7 ، 11 ، ... ) عدد حدودها زوجى ومجموع النصف الأول من حدودها أقل من مجموع بقية الحدود بمقدار 400 . أوجد عدد حدودها .
(الحل) أ =3 ، ء = 4 ، نفرض أن عدد الحدود = 2ن
مجموع المتتابعة = جـ 2ن =   [ 2أ + ( 2ن – 1 ) ء ]
= ن [ 6 + ( 2ن – 1 ) × 4 ] = ن ( 6 + 8ن -4 ) = 8 ن2 + 2ن
النصف الأول من الحدود يبدأ بـ   وينتهى بـ   وعدد حدوده ن
 مجموع النصف الأول =   (  +   ) =   [ أ + أ + ( ن – 1) ء ]
=   [ 6 + ( ن – 1 ) × 4 ] =   ( 6 + 4ن – 4 ) = 2 ن2 + ن
مجموع باقى الحدود = مجموع المتتابعة – مجموع النصف الأول
= ( 8 ن2 + 2ن ) – ( 2 ن2 + ن ) = 6 ن2 + ن
 ( 6 ن2 + ن ) – ( 2 ن2 + ن ) = 400  4 ن2 = 400
 ن2 = 100  ن = 10  عدد الحدود = 20 حداً
مثال33 أوجد مجموع الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 والتى لاتقبل القسمة على 7 .
(الحل) الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 هى
( 201 ، 202 ، 203 ، ... ، 499 )
وهى تكون متتابعة حسابية فيها أ = 201 ، ء = 1 ، ل = 499
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  499 = 201 + ( ن – 1 ) × 1
 499 = 201 + ن – 1  ن = 499 + 1 – 201 = 299
 مجموعها = جـ 1 =  ( أ + ل) =   ( 201 + 499 ) = 104650
الأعداد الصحيحة الواقعة بين 200 ، 500 والتى تقبل القسمة على 7 هى
( 203 ، 210 ، 217 ، ... ، 497 )
وهى تكون متتابعة حسابية فيها أ = 203 ، ء = 7 ، ل = 497
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  497 = 203 + ( ن – 1 ) × 7
 497 = 203 + 7ن – 7  7ن = 497 + 7 - 203
 7ن = 301  ن = 43
 مجموعها = جـ 2 =  ( أ + ل) =   ( 203 + 497 ) = 15050
 المجموع المطلوب = جـ 1 – جـ 2 = 104650 – 15050 = 89600
مثال34 متتابعة حسابية مجموع الستة حدود الأولى منها 159 ، ومجموع السبعة حدود التالية لها 49 . أوجد هذه المتتابعة .
(الحل) جـ 6 = 159
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
 159 =   ( 2أ + 5ء )  2أ + 5ء = 53 ... (1)
جـ 13 = 159 + 49 = 208
 208 =   ( 2أ + 12ء )  2أ + 12ء = 32 ... (2)
بطرح (1) من (2)  7ء = - 21  ء = - 3
نعوض فى (1)  2أ – 15 = 53  2أ = 68  أ = 34
 المتتابعة هى ( 34 ، 31 ، 28 ، ... )
مثال35 أوجد مجموع 20 حداً الأولى من المتتابعة (  ) حيث

 =   2ن – 4 ، ن فردية
 3ن + 2 ، ن زوجية

(الحل) المتتابعة الأولى :
 = 2ن – 4 عندما ن   { 1 ، 3 ، 5 ، ... }
وهى ( - 2 ، 2 ، 6 ، ... ) وفيها أ = - 2 ، ء = 4 ، ن = 10
مجموعها =   [ 2 × - 2 + 9 × 4 ] = 160
المتتابعة الثانية :
 = 3ن + 2 عندما ن   { 2 ، 4 ، 6 ، ... }
وهى ( 8 ، 14 ، 20 ، ... ) وفيها أ = 8 ، ء = 6 ، ن = 10
مجموعها =   [ 2 × 8 + 9 × 6 ] = 350
 مجموع العشرين حداً = 160 + 350 = 510
مثال36 وضعت 20 كرة على خط مستقيم بحيث كانت المسافة بين كل كرتين متتاليتين 5 أمتار . أوجد المسافة التى يقطعها شخص ما يبدأ من موضع الكرة الأولى ليحضر هذه الكرات واحدة بعد الأخرى ويضعها فى صندوق عند موضع الكرة الأولى .
(الحل)
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار أول كرة = 0 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار ثان كرة = 10 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار ثالث كرة = 20 متراً
المسافة التى يقطعها الشخص لإحضار رابع كرة = 30 متراً
 مجموع المسافات = 0 + 10 + 20 + 30 + 40 + ... إلى 20 حداً
وهذه متتابعة حسابية فيها أ = 0 ، ء = 10 ، ن = 20
 مجموع المسافات =  [ 2 × 0 + 19 × 10 ] = 1900 متراً
مثال37 متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن ثلاثة أمثال حدها الثانى بمقدار 6 والوسط الحسابى لحديها الخامس والثامن = 25 أوجد المتتابعة . أوجد أصغر عدد من الحدود يلزم أخذه منها ابتداء من الحد الثالث ليكون المجموع =810 .
(الحل)  - 3  = 6  أ + 6ء – 3 ( أ + ء ) = 6
 أ+6ء – 3أ – 3ء = 6  - 2أ+3ء = 6   ... (1)
 = 25  2أ + 11ء = 50 ... (2)
بجمع (1) ، (2)  14ء = 56  ء = 4
نعوض فى (2)  2أ + 44 = 50  2أ = 6  أ = 3
 المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، ... )
 جـ ن =   [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]  مع ملاحظة أننا سنبدأ من   = 11
 810 =   [ 2 × 11 + ( ن – 1 ) × 4 ]
 1620 = ن ( 22 + 4ن – 4 ) = ن ( 4ن + 18 ) = 4ن2 + 18ن
 4ن2 + 18ن – 1620 = 0 بالقسمة على 2
 2ن2 + 9ن – 810 = 0  ( 2ن + 45 ) ( ن – 18 ) = 0
 ن = 18 والجواب الآخر مرفوض
مثال38 متتابعة حسابية حدها الأول = 12 ، حدها الأخير = - 26 ومجموع حدودها = - 140 . أوجد هذه المتتابعة . " دور ثان 99 "
(الحل) أ = 12 ، ل = - 26 ، جـ ن = - 140
 جـ ن =   ( أ + ل )
 - 140 =   ( 12 – 26 ) = - 7ن  ن = 20
 ل = أ + ( ن – 1 ) ء  - 26 = 12 + 19ء
 - 38 = 19ء  ء = - 2
 المتتابعة هى ( 12 ، 10 ، 8 ، ... ، - 26 )
http://arabsh.com/files/0c3f414867f1/المتتابعات-الحسابية-كدوال-خطية-presentation-rar.html

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

مُشاطرة هذه المقالة على: Excite BookmarksDiggRedditDel.icio.usGoogleLiveSlashdotNetscapeTechnoratiStumbleUponNewsvineFurlYahooSmarking

مُساهمة في 04/12/14, 10:25 am  ahmed5200

جزاك الله خيرا

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

مُساهمة في 01/02/15, 01:25 am  عبدالسلام شرف

جزاك الله خيرا

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة


 
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى