الباب الأول مفاهيم و تعاريف أساسية

أنواع الخطوط :




خط منكسر خط منحنى خط مستقيم

النقطة : هي مكان ناتج من تقاطع خطين





القطعة المستقيمة : مجموعة من النقط المنتهية لها بداية و نهاية و لها طول .
أو هى مجموعة مكونة من نقطتين مختلفتين وجميع النقط الواقعة بينهما
بحيث تكون على إستقامة واحدة


ا ب e ا ب e ا ب ا ب

ملحوظة :
يوجد فرق بين الرمزين ا ب/ ، ا ب حيث :
ا ب/ هي مجموعة النقط المكونة من النقطتين أ ، ب و جميع النقط الواقعة بينهما .
ا ب هو عدد يمثل طول ا ب مقاساً بوحدات أطوال معلومة.
، ا ب/ هى نفسها ب ا/

المستقيم : هو مجموعة من النقط غير المنتهية . ممتد من جهتيه بلا حدود .
أو هــــو قطعـــة مستقيمـــة مــدت من جهتيهــا بلا حــدود

ا جـ ب \


يقرأ المستقيم بأى نقطتين علية مثلا ا جـ ، جـ ا ، ا ب ، 0000

الشعاع : هو جزء من مستقيم
أو هو مجموعة من النقط غير المنتهية . له بداية و ليس له نهاية .
أو هو قطعة مستقيمة مـدت من أحد طرفيها فقط بلا حــدود


مثلا ص س ، ص ب ، س ص س ص ب

ص س e س ب ، ص ب e س ب


مثال: انظر الشكل المقابل ثم أجب عن ما يأتي :
(1)ا ب تي ط جـء ممس = {000}
(2) جـا ممس بلآ جـ ب ممس = 0000
(3) ا جـ/ حح جـ ب ممس = 0000
(4) اجـ ممس ط جـ ا ممس= 0000
ا لحل :
(1) { جـ } (2) ا ب أ، ا جـ أ، جـ ب (3) ا ب (4) ا جـ
تدريب :

مثال : في ا لشكل ا لمقابل أكمل ا لناقص :
(1) س /ع/ حح س /ص/ = 0000 ع س ص ن
(2) ع س ممس حح س /ص/ = 0000
(3) س ع ط ص ن = 0000 (4) ص ع ط ع ص = 0000

5- الزاوية : هي إتحاد شعاعين لهما نفس نقطة البداية .
ويسمى الشعاعين بضلعي الزاوية و نقطة البداية رأس الزاوية .

ب ا بلآ ب \ = لا ا ب \ أ، لا \ ب ا أ، ب "
ب ا بلا ب جـ = { ب }

تقرأ الزاوية ا ب \ أ، ا ب\ أ، ب أ، 1

وحدة قياس ا لزاوية : الدرجة ( )5 ، الدقيقة ( )/ ، الثانية ( )//

ملحوظة : (تحولات)
1 5 = 60 / ، 1 / = 60 // ، 1/ = ( )5 ، 1// = ( )/

180 5 = 60 / 179 5 = 60 // 59 / 179 5
90 5 = 60 / 89 5 = 60 // 59 / 89 5

( )5 = ( × 60 )/ = 30 / ، ( )5 = ( × 60 )/ = 15 / و هكذا

انواع الزوايا :

1- صفرية 2- حادة 3- قائمة 4- منفرجة 5- مستقيمة 6- منعكسة

(1) الزاوية الصفرية : قياسها صفر (2) الزاوية الحادة : قياسها اكبر من
صفر و أقل من 90 5

(3) الزاوية المنفرجة: قياسها أكبرمن (4) الزاوية المستقيمة : قياسها 180
90 و أقل من 180 5


(5) الزاوية القائمة : قياسها 90 5 (6) الزاوية المنعكسة : قياسها أكبر
من 180 5 وأقل من 360 5
ملحوظة 1:
الزاوية تقسم المستوى الذى تقع فيه إلى ثلاث مجموعات من النقط هى :
الزاوية ، داخل الزاوية ، خارج الزاوية



ملحوظة 2 : :

إذا كان قياس زاوية ما = س فإن قياس الزاوية المنعكسة التى تشترك معها في ضلعيها
= ( 360 5 ــ س5 )

مثلا : إذا كانت ق( ا) = 70 5 فإن
B ق( ا) المنعكسة = 360 5 ــ 70 5 = 290 5
نلاحظ أن : ق ( ا ") + ق ( ا ") المنعكسة = 360 5
تديب :أكمل : إذا كان ق[ ب ] = 65 فإن : ق( ب) المنعكسة = 0000 5

مثال : ارسم الزوايا التي قياسها كالتالي مبيناً نوع كل منها :115 5،195 5،245 5 أ، 75 5


بعض ا لعلاقات بين الزوايا

1- الزاويتان المتجاورتان : هما زاويتان تشتركان في رأس وضلع والضلعان الآخران في
جهتين مختلفتين من الضلع المشترك.

مثلاً : أ ب حـ ، حـ ب د زاويتان متجاورتان
أ ب حـ ، أ ب د زاويتان غير متجاورتان

لأن : الضلعان ، فى جهة واحدة من الضلع المشترك

، فى الشكل المقابل : لا ب ا حـ ، لا حـ هـ ء غير متجاورتان
لأنهما غير مشتركتان فى الرأس

2- الزاويتان المتتامتان : مجموع قياسيهما 90 5

A أ ب د تتمم د ب حـ
B ق( أ ب د ) + ق( د ب حـ ) = 90 5

الزاويتان اللتان قياسيهما 35 5 ، 55 5 متتامتان
لان : 55 5 + 35 5 = 90 5

متممة الزاوية التي قياسها 40 5 هى 50 5 ، متممة الزاوية 70 5 هى 20 5

الزاوية التي قياسها 18 // 30 / 56 5 تتمم الزاوية التي قياسها 42 // 29 / 33 5

لان : 90 5 = 60 // 59 / 89 5 = 60 / 89 5
ملاحظات :
1- الزاويتان المتتامتان إما أن تكونان زاويتين حادتين أو إحداهما صفرية والأخرى قائمــة

2- الزاويتان المتجاورتان اللتان ضلعاهما المتطرفان متعامدان تكونان متتامتين

3- متممات الزاوية الواحدة ( أو الزوايا المتساوية فى القياس ) تكون متساوية فى القياس

مثلا :إذا كان لا ا تتمم لا ب ، لا \ تتمم لا ب فإن :ق[ لا ا] = ق[ لا \]

3- الزاويتان ا لمتكاملتان : هما زاويتان مجموع قياسيهما 180 5






A لا ا ب د تكمل لا د ب حـ B ق( لا ا ب د) + ق( لا د ب حـ) = 180
فمثلاً : زاويتان قياسهما 30 ْ ، 150 ْ هما زاويتان متتامتان لأن : 30 ْ + 150 ْ = 180 ْ
، الزاوية التى قياسها 35 ْ تتم زاوية قياسها : 180 ْ – 35 ْ = 145 ْ

ملاحظات :

1- الزاويتان المتكاملتان إما أن تكون إحداهما حادة والأخرى منفرجة
أو أن تكون كل منهما قائمــة
أو أن تكون إحداهما صفرية والأخرى مستقيمة

2- الزاويتـــــان المتجاورتــان الحادثتــان من تقاطـع مستقيـم و شعاع نقطة بدايته تقع على هذا
المستقيم متكاملتان ( مجموعهم 180 )

فى الشكل المقابل : إذا كان بلا = { ا }
فإن : ق ( لا ب ا ء ) + ق ( لا حـ ا ء ) = 180 ْ

تدريب :
1- إذا كان : ق ( لا ب ا ء ) = 100 ْ فإن : ق ( لا حـ ا ء ) = 0000 ْ
2- إذا كان : ق ( لا حـ ا ء ) = 57 ْ فإن : ق ( لا ب ا ء ) = 0000 ْ

3- إذا كانت الزاويتان المتجاورتان متكاملتين فإن الضلعين المتطرفان لهما
يكونان على إستقامة واحدة .

فى الشكل المقابل :
إذا كان : ق ( لا ب ا ء ) + ق ( لا حـ ا ء ) = 180 ْ
فإن : ، على إستقامة واحدة

4- إذا كانت الزاويتان المتجاورتان غير متكاملتين فإن ضلعيهما المتطرفان
لا يكونان على إستقامة واحدة.

تدريب :
1- إذا كان : ق ( لا ب ا ء ) = 70 ْ ، ق ( لا حـ ا ء ) = 110 ْ فإن : 0000
2- إذا كان : ق ( لا حـ ا ء ) = 81 ْ ، ق ( لا ب ا ء ) = 98 ْ فإن : 0000

5- مكملات الزاوية الواحدة ( أو الزوايا المتساوية فى القياس ) تكون متساوية فى القياس
مثلا :إذا كان لا ا تكمل لا ب ، لا \ تكمل لا ب فإن :ق[ لا ا] = ق[ لا \]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4- الزاويتان المتقابلتان بالرأس: هما زاويتان مشتركتان فى الرأس وكل من ضلعى إحداهما
على إستقامة واحدة مع ضلع من ضلعي الزاوية الأخرى

ق ( لا ب م ء ) = ق ( لا حـ م ا )
، ق ( لا ب م حـ ) = ق ( لا ء م ا )

إذا تقاطع مستقيمان فإن كل زاويتين متقابلتين بالرأس تكونان متساويتين فى القياس

فى الشكل المقابل : إذا كان بلا = { م }
فإن : ق ( لا ب م ء ) = ق ( لا حـ م ا ) ، ق ( لا ب م حـ ) = ق ( لا ء م ا )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5- الزوايا المتجمعة حول نقطة : مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة = 360 ْ

فى الشكل المقابل :
، ، ، أشعة لها نفس نقطة البداية م

لذلك فإن :
ق ( لا ب م ء ) + ق ( لا ء م ا ) + ق ( لا ا م حـ ) + ق ( لا حـ م ب ) = 360 ْ

مثال : فى الشكل المقابل : أوجد ق[ لا ا م \ ]
الحل : A مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة = 360 5
B ق[ لا ا م \ ] = 360 - [ 85 + 40 + 65 ] = 360 – 190= 170

مثال: في الشكل ا لمقابل :

ق(ب م "د ) = 30 5 ، ق( د م "هـ ) = 95 5

ق( ب م "حـ ) = 90 5

احسب: ق( حـ م "هـ ) ، ق( حـ م "هـ ) المنعكسة

هل : م ب ، م هـ على إستقامة واحدة

البرهان :
A مجموع قياسات ا لزوا يا ا لمتجمعة حول نقطة = 360 5

B ق(حـ م "هـ ) = 360 5 ـــ ( 90 5 + 30 5 + 95 5 )

= 360 5 ـــ 215 5 = 145 5

B ق(حـ م "هـ) المنعكسة = 360 5ـــ 145 5 = 215 5

A ق(ب م "د) + ق(د م "هـ) = 30 5+ 95 5 = 125 5 { 180 5

B م ب ، م هـ ليس على استقامة واحدة .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6- منصف الزاوية :
هو الشعاع الذى يقسم الزاوية إلى زاويتين لهما نفس القياس

فى الشكل المقابل : ينصف لا ا ب \
أى أن : ق ( لا ا بء ) = ق ( لا ء ب \) = !؛2 ق ( لا ا ب \)


مثال : في الشكل المقابل :

ب هـ ينصف د ب "حـ ، ق( ا ب "د )= 36 5
أوجد : ق(د ب "هـ) ، ق( أ ب "هـ )
الحل :
A ق(ا ب "حـ) = 180 5 لانه زاوية مستقيمة

B ق(د ب "حـ)= 180 5ـــ 36 5 = 144 5

A ب هـ ينصف د ب "حـ B ق(د ب "هـ) = ق(هـ ب "حـ) = =572
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

1 – أكمـــــل ما يأتى :

(1) نوع الزاوية التى قياسها 57 ْ هو 0000
(۲) نوع الزاوية التى قياسها ۲10 ْ هو 0000
(3) نوع الزاوية التى قياسها 90 ْ هو 0000
(4) نوع الزاوية التى قياسها 145 ْ هو 0000
(5) قياس الزاوية المستقيمة = 0000 ْ
(6) قياس الزاوية الصفرية = 0000 ْ
(7) مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة = 0000 ْ
( الزاوية التى قياسها 50 ْ تتمم زاوية قياسها 0000 ْ
(9) الزاوية التى قياسها 150 ْ تكمل زاوية قياسها 0000 ْ
(10) الزاوية التى قياسها 64 ْ تتمم زاوية قياسها = 0000 ْ
، و تكمل زاوية قياسها = 0000 ْ
(11) قياس الزاوية التى تكافئ قائمتين = 0000 ْ و تسمى زاوية 0000
(1۲) الزاوية الحادة تتممها زاوية 0000 ، و تكملها زاوية 0000
(13) الزاوية الصفرية تتممها زاوية 0000 ، و تكملها زاوية 0000

(14) إذا كان : ق ( لا ا ) = 74 ْ فإن : ق ( لا ا ) المنعكسة = 0000 ْ
(15) إذا كان : لا ا ، لا ب متتامتان ، ق ( لا ا ) = ق ( لا ب )
فإن :ق ( لا ا ) = 0000 ْ
(16) إذا كان : لا ا ، لا ب متكاملتان ، ق ( لا ا ) = ق ( لا ب )
فإن :ق ( لا ا ) =0000 ْ
(17) إذا كان : ينصف لا حـ ا ء ، كان : ق ( لا حـ ا ء) = 40 ْ
فإن : ق ( لا حـ ا ء) = 0000 ْ
(18) إذا كان : ق ( لا ا ) = !؛2 ق ( لا ب ) ، ق ( لا ا ) =30 ْ
فإن : لا ا ، لا ب تكونان 0000
(19) المنصفان لزاويتين متجاورتين و متكاملتين يكونان 0000

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

۲ – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ق ( لا ب ا ء ) = 40 ْ ، ينصف لا حـ ا ء
فإن : ق ( لا هـ ا ء ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

3 – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ق ( لا ء ب هـ ) = 55 ْ ، ينصف لا حـ ب ء
فإن : ق ( لا ا ب ء ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4 – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ب g فإن : ï = 0000 ْ

5 – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ب g فإن : س = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

6 – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ب g فإن : ق ( لا ا ب ء ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

7 – فى الشكل المقابل :

ق ( لا ا ء ب ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

8 – فى الشكل المقابل : إذا كان :
ق ( لا و م ا ) = 50 ْ ، ق ( لا ب م حـ ) = 65 ْ
، ينصف لا حـ م ا ، ق ( لا ء م حـ ) = 80 ْ
فإن : ق ( لا ء م هـ ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
9- فى الشكل المقابل :
م ي ا ب ممس ، م ه ممس عع اب تي ، ق { لا ج م ب } = 140
، ق { لا ب م د } = 40
هل م ج ممس ، م د ممس على استقامة واحدة ؟ و لماذا ؟
أوجد : ق { لا ه م د }


( إنشاءات هندسية )

1- إنشاء منصف لزاوية معلومة :

المعطيات : ا ب حـ زاوية معلومة
المطلـوب : رسم منصف لا ا ب حـ بإستخدام الفرجار
خطوات العمل : (1) نركز بسن الفرجار عند الرأس ب ، بفتحة مناسبة
نرسم قوساً يقطع فى ï ، فى ص
(۲) نركز بسن الفرجار عند كل من ï ، ص و بنفس الفتحة
أو فتحة أخرى مناسبة نرسم قوسين يتقاطعان فى ء
(3) نرسم فيكون هو منصف لا ا ب حـ
لاحظ أن : هو محور تماثل للزاوية ا ب حـ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

2- إنشاء عمود على مستقيم مار بنقطة لا تنتمى إلى المستقيم :

المعطيات : مستقيم معلوم ، حـ h
المطلـوب : رسم \ هممس عمودى على ا ب تي

خطوات العمل : (1) نركز بسن الفرجار عند النقطة حـ و بفتحة مناسبة
نرسم قوساً من دائرة تقطع ا ب تي فى نقطتى ï ، ص
(۲) نركز بسن الفرجار عند كل من ï ، ص
و بفتحة أخرى مناسبة أكبر من نصف طول
نرسم قوسين يتقاطعان فى هـ
(3) نرسم فيكون عمودياً على
لاحظ أن : هو محور تماثل



3- إنشاء زاوية قياسها يساوى قياس زاوية معلومة :

المعطيات : ا ب حـ زاوية معلومة
المطلـوب : رسم لا ء هـ و بحيث :
ق ( لا ء هـ و ) = ق ( لا ا ب حـ ) بدون إستخدام المنقلة
خطوات العمل : (1) نرسم شعاعاً بدايته نقطة هـ ليمثل أحد
ضلعى الزاوية المراد رسمها
(۲) نركز بسن الفرجار عند نقطة ب ، نرسم قوساً من دائرة
يقطع الشعاعين ، عند ا ، حـ على الترتيب
، بنفس الفتحة نركز سن الفرجار عند هـ ، نرسم قوساً
من دائرة يقطع الشعاع عن ء
(3) نركز بسن الفرجار عند ا ثم نفتح الفرجار فتحة تساوى
ا حـ ثم نركز بسن الفرجار عند ء و بنفس الفتحة السابقة
نرسم قوساً يقطع القوس الأول فى و
(4) نرسم فيكون : ق ( لا ء هـ و ) = ق ( لا ا ب حـ )

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تمارين على الأنشاءات الهندسية

ملحوظة هامة :فى كل التمارين : " لا تمح الأقواس ، " غير مطلوب كتابة خطوات العمل "

1 – بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم ∆ ا ب حـ الذى فيه :
ب حـ = 6 سم ، ا ب = ا حـ = 4 سم ثم نصف لا ب ا حـ بالمنصف يقطع
فى ء و من الرسم أوجد طول

۲ – بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم زاوية قياسها 120 ْ ثم قسمها إلى أربع زوايا متساوية
فى القياس.


3 – بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم مثلثاً ثم أرسم إرتفاعاته إذا كان المثلث :
(1) حاد الزوايا (۲) قائم الزاوية (3) منفرج الزاوية
ثم أستنتج موقع نقطة تقاطع الإرتفاعات فى كل حالة داخل المثلث أم خارجه أم على أحد أضلاعه

4 – بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم مثلثاً ثم نصف كل زاوية من زواياه إذا كان المثلث :
(1) حاد الزوايا (۲) قائم الزاوية (3) منفرج الزاوية
ثم أذكر ماذا تلاحظ عن منصفات زوايا المثلث ؟

5 – بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم ∆ ا ب حـ الذى فيه : ب حـ = 6 سم ، ا ب = 5 سم
ا حـ = 7 سم خذ ء g ثم أرسم لا ء ب هـ بحيث :
ق ( لا ء ب هـ ) = ق ( لا ا حـ ب )

6- بإستخدام الأدوات الهندسية إرسم زاوية قياسها 80 5 ثم نصفها

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


















(1) تتطابق قطعتين مستقيمتين : إذا كانتا متساويتين في الطول .

إذا كان طول ا ب = طول حـ د
فإن : ا ب ≡ حـ د و العكس

كل قطعتين مستقيمتين متطابقتين تكونان متساويتين فى الطول
" الرمز ≡ " يعبر عن عملية التطابق

(2) تتطابق زاويتان : إذا كانتا متساويتين في القياس .

إذا كان ق( ا ب حـ ) = ق( س ص ع )

فإن : ا ب حـ ≡ س ص ع و العكس
كل زاويتين متطابقتين تكونان متساويتين فى القياس

(3) تطابق مضلعين :
يتطابق المضلعان إذا وجد تناظر بين رؤوسيهما بحيث يطابق كل ضلع و كل زاوية في
المضلع الأول نظيره في المضلع الآخر .
أي يتطابق المضلعان إذا كانت 1- أضلاعه المتناظرة متساوية في الطول.
2- زواياه المتناظرة متساوية في القياس.








إذا كان مضلعين متطابقين فإن كل ضلع و كل زاوية في أحدهما يطابق نظيره في الأخر.

مثال : في الشكل المقابل : المضلعان متطابقان ، أكمل :

[أ] الرأس ب تناظر الرأس 0000
[ب] المضلع أ ب حـ د هـ يطابق المضلع 0000
[حـ] ق( ا ) = ق( 0000 )
[د] أ هـ = 0000
[هـ] ق( هـ د حـ ) = ق( 00000 ) [و] هـ و محور تماثل للشكل 00000
[ى] محيط المضلع هـ د و ن م = 000 [ز] محيط الشكل أ ب حـ د و ن م = 000
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ




نعلم أن :
* لأي مثلث ثلاثة أضلاع و ثلاث زوايا و تُسمى العناصر الست للمثلث .
* يتطابق المثلثان إذا وجد تناظر بين رُؤوس المثلثين بحيث يطابق كل عنصر
من العناصر الستة لأحدهم العنصر المناظر من المثلث الأخر.

مم مم أ ب حـ ، س ص ع فيهما :
(1) ا ب = س ص ، ب حـ = ص ع ، ا حـ = س ع

(2) ق( ا ") = ق( س") ، ق( ب") = ق( ص")
، ق( حـ ) = ق( ع )


فإن : مم ا ب حـ يطابق مم س ص ع و يكتب : مم ا ب حـ ≡ مم س ص ع ، العكس










* يتطابق المثلثين في أحدهما مع نظائرها في المثلث الأخر في الحالات الآتية :
1- إذا تطابق ضلعين و الزاوية المحصورة بينهما .
2- إذا تطابقت زاويتان و ضلع مرسوم بين رأسيهما .
3- إذا تطابق كل ضلع .
4- إذا تطابق وتر وأحد ضلعي القائمة في المثلثين قائمي الزاوية .


ملحوظة هامة: العلامات المتشابهة على تطابق العناصر المبينة عليها هذه العلامات .
لإثبات تطابق مثلثين يكفى إثبات تكفى ثلاثة عناصر من فى أحدهما مع نظائرها فى المثلث الآخرإحداها ضلع على الأقل و بالتالى تكون العناصر الثلاثة الأخرى مطابقة لنظائرها فى المثلث الآخر

مثال : هل المثلثان متطابقان ؟
، إذا كان المثلثان متطابقين ، اكتب حالة التطابق ، إذا كان غير متطابقين اذكر السبب .










ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : ادرس معطيات المثلثين ا ب حـ ، س ص ع إذا كانت المعطيات كافية للتحقق من تطابق المثلثين اكتب (( تطابق المثلثين )) و بين حالة التطابق و إذا كانت غير كافية للتحقق من تطابق المثلثين اذكر السبب .

[أ] ا ب = ص س ، ا حـ = س ع ، ا≡ س
[ب] ب حـ = ص ع ، ب أ = س ص ، ب ≡ ع
[حـ] ا ب = ص ع ، ب حـ = ص س ، ا حـ = س ع
[د] ا ب = س ص ، حـ ا = ع س ، ب ≡ ص
[هـ] ب = ع ، حـ = س ، ب حـ = س ع
[و] ا ≡ س ، ب ≡ ص ، ا حـ = ص ع
الحل:
[أ] يتطابق المثلثان (( ضلعان وزاوية محصورة بينهما ))
[ب] البيانات غير كافية لأن ع غير محصورة بين الضلعين ص ع ، س ص
[حـ] يتطابق المثلثان (( ثلاثة أضلاع ))
[د] البيانات غير كافية لأن الزاوية المعطاة غير محصورة بين ضلعين
[هـ] يتطابق المثلثان (( زاويتان و ضلع ))
[و] البيانات غير كافية لأن الضلعين ا حـ ، ص ع غير متناظرين
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : ادرس الأشكال الآتية : و أوجد قيمة س ، ص في كل مما يأتي :







[1] مم ل م ن ≡ مم ب حـ ا (( ضلعان و زاوية محصورة بينهما ))
س = ل ن = ب ا= 4.7 سم ، صٍٍٍِِِِِ5 = ق( ل ) = ق( ب ) = 42 5


[2] مم ا ب حـ ≡ مم و د ا
(( زاويتان و ضلع ))
ص5 = ق( ا ) = ق( ب هـ د) = 64
، س5 = ق( حـ ) = 180 ــ [ 64 + 30 ]
= 86 5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : فى الشكل المقابل :
أدرس حالة التطابق ثم أستنتج ينصف لا ب ا حـ
الحل:أكمل :
من الشكل : ا ب = 0000
، ب ء = 0000
، 0000
فيكون : ∆ ا ب ء ≡ 0000 " تطابق 0000 "
و ينتج من التطابق : ق ( لا ب ا ء ) = 0000

تمارين على التطابق

1 – فى الاشكال المقابلة: العلامات المتشابهة تدل على تطابق العناصر المبينة عليها هذه
العلامات بين ما إذا كان المثلثان متطابقان أم لا ، إذا كانا متطابقين أذكر حالة التطابق و
نتائج التطابق ، إذا كانا غير متطابقين أذكر السبب






(1) (2) (3) (4)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

2 – فى الشكل المقابل :
ينصف زاويتى ء حـ ب ، ء ا ب
، ق ( لا ء ) = 100 ْ ، ء حـ = 6 سم
أكمل ما يأتى : ∆ ا ء حـ ≡ ∆ 0000
، ق ( لا ب ) = 0000 ْ
، ب حـ = 0000 سم

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

3 – فى الشكل المقابل :
ا ب = ء حـ ، ا حـ = ء ب
، ق ( لا ا ) = 30 ْ
أكمل ما يأتى : ∆ ا ب حـ ≡ ∆ 0000
، ق ( لا ء ) = 0000 ْ
، ق ( لا ء ب حـ ) = ق ( لا 0000 )

4 – فى الشكل المقابل :
ل ع = ل ï ، ق ( لا ع ) = ق ( لا ï ) = 90 ْ
، ق ( لا ï ص ع ) = 50 ْ
أكمل ما يأتى : ∆ ï ص ع ≡ ∆ 0000
، ص ع = 0000
، ق ( لا ï ل ص ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

5 – فى الشكل المقابل :
ï ع = ع ء ، ص ع = ع ل ، ق ( لا ï ) = 45 ْ
، ï ص = 5 سم
أكمل ما يأتى : ∆ ï ص ع ≡ ∆ 0000
، ل ء = 0000 سم
، ق ( لا ء ) = 0000 ْ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

6 – أدرس الأشكال الآتية و أوجد قيمة ï ، ص فى كل مما يأتى :


(1)





(۲)


7- فى الشكل المقابل
ا هـ = هـ ء
ق( ب ا هـ ) = ق( هـ ء جـ )
إثبت أن : ب هـ = هـ جـ
أكمـــل :
أ ب هـ ، هـ ء جـ
...................
فيهما ...................
...................
...................... ≡ .......................
ومن التطابق ينتج أن ........................

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
8- فى الشكل المقابل :

ا ب جـ ء شكل رباعى فيه ا ء = جـ ب

إثبت أن: 1) ا ب = جـ ء

2) ا ب/ // جـ ء/

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

9- فى الشكل المقابل :
بين أن ∆ ا ب ج ﻓ ∆ ا ء ج و اكتب نواتج التطابق
علماً بأن العلامات المتشابهة تدل
على تطابق العناصر المبينة عليها


ا لتـــــــوازى

أوضاع مستقيمين فى مستوى واحد :





مستقيمان متقاطعان مستقيمان متوازيان مستقيمان منطبقان

ا ب Π حـ د = { م } ا ب حـ د ا ب حـ ب

تعريف ا لتوازى :

ا لمستقيمان اب ، حـ د متوازيان إذا كان :

ا ب п حـ د = Ø أ، ا ب = حـ د والعكس صحيح .

ملاحظات :
كل مستقيم يوازى نفسه .

إذا وازى مستقيمان مستقيما ثالثا كان هذان المستقيمان متوازيان .

أو المستقيمان الموازيان لثالث متوازيان .
A ل1 // ل3 ، ل2 // ل3 ل1
ل2
B ل1 // ل2 // ل3
ل3


إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يقطع الآخر .






مسلمة اقليدس :
من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مستقيم وحيد يوازى ا لمستقيم ا لمعلوم .


ا لمعلوم

توازى قطعتين مستقيمتين :

إذا كان ل1 // ل2 ، ا ب e ل1 ، حـ د e ل2 ل1

فإن ا ب // حـ د ل2

توازى شعاعين :

إذا كان ل1 // ل2 ، ا ب e ل1 ، حـ د e ل2 فإن ا ب // حـ د

7- الزوايا ا لناتجة من قطع مستقيم مستقيمين متوازيين :




1 3 5 7
2 4 6 8


ا لزوايا ا لمتناظرة : مثل [ ( 1 ، 5 ) ، ( 4 ، 8 ) ، 000 ]

ا لزوايا ا لمتبادلة : مثل [ ( 3 ، 6 ) ، ( 4 ، 5 ) ]

ا لزوايا ا لداخلة : مثل [ ( 3 ، 5 ) ، ( 4 ، 6 ) ]

ا لعلاقة بين أزواج ا لزوايا ا لناتجة من قطع مستقيم لمستقيمين متوازيين :
نــــظـــــريـــــة :
إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فإن :
كل زاويتين متبادلتين متساويتان في ا لقياس .
ق( 3 ) = ق( 6 ) ، ق( 4 ) = ق ( 5 ) بالتبادل
كل زاويتين متناظرتين متساويتان في ا لقياس .
ق( 1 ) = ق( 5 ) ، ق( 2) = ق ( 6) با لتناظر
ق( 4) = ق( 8 ) ، ق( 3 ) = ق ( 7 ) با لتناظر
كل زاوتيين داخلتين و في جهة واحدة من ا لقاطع متكاملتان .
ق( 3 ) + ق( 5 ) = 180 5 ، ق( 4 ) + ق( 6 ) = 180 5
لانهما داخلتان و في جهة واحدة من ا لقاطع .


شروط توازى مستقيمين :

إذا قطع مستقيم مستقيمين وتحقق أحد ا لشروط الآتية :

زاويتان متبادلتان متساويتان في ا لقياس .

زاويتان متناظرتان متساويتان في ا لقياس .

زاويتان داخلتان و في جهة واحدة من ا لقاطع متكاملتان .

كان ا لمستقيمان متوازيان .


مثال توضيحي :
في ا لشكل ا لمقابل :

بم ا ب // حـ د ، ا حـ قاطع لهما
إ ق( ب ا حـ ) = ق( ا حـ د) = 34 5 بالتبادل

(2) في ا لشكل ا لمقابل :

بم س ص// د حـ ، د و قاطع لهما
إ ق( ص س و) = ق( حـ د س) = 50 5 بالتناظر

بم س ص // د حـ ، د س قاطع لهما

إ ق( ص س د ) + ق( حـ د س) = 180 5 50
لأنهما داخلتان وفى جهة واحدة

إ ق( ص س د) = 180 5 ـــ 50 5 = 130 5

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : في ا لشكل ا لمقابل : ب ا // د حـ ، د هـ // حـ ب ، ق( د) = 116
أوجد ق ( ب)
ا لحل :
بم د هـ // حـ ب ، د حـ قاطع
إ ق( ب حـ د) = 180 ـــ 116 = 54 5
بم ب ا // د حـ ، ب حـ قاطع
إ ق( ا ب حـ ) = ق( ب حـ د) = 54 5 بالتبادل

[4] في الشكل المقابل : ا ب // د حـ ، ق( حـ ا ب) = 70 ، ق( هـ د حـ )= 110

أثبت أن : د هـ // حـ ا

البرهان : بم ا ب // د حـ ، ا حـ قاطع

إ ق( ب ا حـ ) = ق( ا حـ د )= 70 بالتبادل

بم ق( هـ د حـ ) + ق( د حـ ا) = 110 + 70 = 180
و هما داخلتان و في جهة واحدة

إ د هـ // حـ ا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

[5] في الشكل المقابل : ا س // ب حـ ،ا س ينصف ب ا ص
، ق( ب ا حـ ) = 50 5 ، ا Э حـ ص
احسب بالبرهان : ق( ا ب حـ ) ، ق( ا حـ ب )

البرهان : بم ق( ص ا حـ ) = 180 مستقيمة
إ ق( صا ب ) = 180 ــ 50 = 130
بم ا س ينصف ص ا ب
إ ق( ص ا س ) = ق( س ا ب ) = 130 ÷ 2 = 65
بم ا س // ب حـ ، ا ب قاطع
إ ق( س ا ب ) = ق ( ا ب حـ ) = 65 بالتبادل
بم ا س // ب حـ ، ص حـ قاطع
إ ق( ص ا س ) = ق( ا حـ ب ) = 65 بالتناظر


[6] في الشكل المقابل :ا ب // حـ هـ ، ق( د ا ب) = 130، ق( ب حـ د) = 65
د و ينصف ا د هـ ، د Э حـ هـ

المطلوب : برهن أن : د و // حـ ب

البرهان : بما ب // حـ هـ ، ا د قاطع
إ ق( ب ا د ) = ق( ا د هـ)=130 بالتبادل
بم د و ينصف ا د هـ
إ ق( ا د و ) = ق( و د هـ ) = 130 ÷ 2 = 65
بم ق( و د هـ ) = ق( حـ ) = 65 و هما في وضع تناظر إ د و // حـ ب

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

[7] في الشكل المقابل : ب ا // حـ د // هـ و ، ق( ا ب حـ ) = 30
، ق( حـ هـ و ) = 110
المطلوب : أوجد كلا من : ق( ب حـ د ) ، ق( هـ حـ ب )

البرهان :
بم ب ا // حـ د ، ب حـ قاطع
إ ق( ا ب حـ ) = ق ( ب حـ د ) = 30 بالتبادل
بم حـ د // هـ و ، حـ هـ قاطع
إ ق ( د حـ هـ ) + ق( حـ هـ و ) = 180 داخلتان و في جهة واحدة
إ ق( د ح هـ ) = 180 ــ 110 = 70
إ ق( ب حـ هـ ) = ق( ب حـ د ) + ق( د حـ هـ ) = 30 + 70 = 100 5



تطبيقات علي التوازي
نظرية :
إذا قطع مستقيم عدة مستقيمات متوازية و كانت أجزاء القاطع المحصورة بين
هذه المستقيمات المتوازية متساوية في الطول فأن الأجزاء المحصورة بينها
لأي قاطع آخر تكون متساوية في الطول أيضاً .










بم ل­1 ­ ل2 ل3 ، م1 ،م2 قاطعين لها ، ا ب = ب حـ
إ هـ ز = ز و
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : في الشكل المقابل : ا ب حـ د متوازي أضلاع ، س منتصف ا ب

، س ص ب حـ أثبت أن : ص حـ = أ ب
البرهان :
بم ا ب حـ د متوازي الأضلاع
إ ا د ب حـ ، س ص ب حـ
بم ا د س ص ب حـ
، ا ب ، د حـ قاطعين لها ، ا س = س ب
إ د ص = ص حـ إ ص حـ = د حـ
بم ا ب = د حـ إ ص حـ = أ ب


مثال : ا ب حـ مثلث ، هـ منتصف ا ب رسم هـ د ب حـ ويقطع ا حـ في د
برهن أن : ا د = د حـ
البرهان :
نرسم ا و ب حـ
بم ا و هـ د ب حـ ، ا ب ، احـ قاطعين لها
بحيث ا هـ = هـ ب إ ا د = د حـ


ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : فى الشكل المقابل : ا م = م ب ، ب م = م ء
إثبت أن : ا ب // ء جـ

الحل :
ا ب م ، ء م جـ
ا م = م جـ
فيهما ب م = م ء
ق( ا م ب ) = ق ( ء م جـ )
B ا ب م ≡ جـ ء م
ومن التطابق ينتج أن : ق( ا ") = ق( جـ ") وهما متبادلتان B ا ب // ء جـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : فى الشكل المقابل :
ب ج ممس ] ا د ممس ، ق { لاب } = 108 5
، ق { لاج د ه } = 7۲ 5
هل اب ممس ] ج د ممس ؟ ولماذا ؟
الحل : A ب ج ممس ] ا د ممس ، ا ب / قاطع
B ق( لا ا ) = 180 – 108 = 72
A ق( لا ا ) = ق( لا جء ه ) = 72 وهما متبادلتان B اب ممس ] ج د ممس


تمارين على التوازى

1 – أكمل ما يأتى :

(1) إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين فإن : 0000 ، 0000 ، 0000

(۲) إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه 0000

(3) إذا وازى مستقيمان مستقيماً ثالثاً كان هذان المستقيمان 0000

(4) المستقيم العمودى على أحد مستقيمين متوازيين يكون 0000

(5) إذا كان كل من مستقيمين عمودى على ثالثاً كان المستقيمان 0000

(6) إذا قطع مستقيم مستقيمين و كانت زاويتان متبادلتان متساويتان فى القياس كان 000

(7) إذا قطع مستقيم مستقيمين و كانت زاويتان متناظرتان متساويتان فى القياس كان 00

( إذا كانت ا h للمستقيم فإن عدد المستقيمات التى تمر بنقطة ا وتوازى مستقيم معلوم
يساوى 0000

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
۲ – فى الأشكال الآتية إذا كان // أوجد قيمة ï :








3 – فى الأشكال الآتية : إذا كان // ، // أوجد قيمة ï :









ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
4- فى الشكل المقابل:
إذا كان ا ج/ـ // ء ه ممس ، ق[ ا "]= 120 5
، ق[ ء "]= 60 5
أثبت أن : ا /ب ممس // جـ /ء//
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
5- فى الشكل المقابل : جـ /ء/ // ا ب// ، ء ه/ـ ممس // جـ /ب/
ق ( ء ") = س ، ق ( جـ ب "ا ) = 3س
أوجد قيمة : س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6- فى الشكل المقابل :

اب ممس ] د ه ممس ، أوجد : ق ( لا د ا ج )






هل تعلم أن : الضلع المقابل للزاوية القائمة يٌسمى ا حـ الوتر
( أكبر أضلاع المثلث القائم ) ، الضلعين الأخرين
يٌسميان ا ب ، ب حـ ضلعى القائمة .



نشاط : في كل من الأشكال الآتية: أوجد مساحة المربعين ا، ب ، مساحة المربع حـ
و تحقق من نظرية فيثاغورث .











ا ب حـ
الشكل 1 4 16 20
الشكل 2 4 9 13

نلاحظ أن : مساحة الشكل حـ = مساحة الشكل ا + مساحة ب








في المثلث القائم الزاوية مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوى مجموع مساحتي
المربعين المنشأين على ضلعي القائمة .

في المثلث ا ب حـ :
إذا كان ق( ب ) = 90 5 فإن ( ا ب )2 + ( ب حـ )2 = ( ا حـ)2

أو في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة
، (ب حـ)2 = ( ا حـ)2 ــ (ا ب)2 ، (ا ب)2 = (ا حـ)2 ــ (ب حـ)2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : في الشكل المقابل :
س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص :
إذا كان : س ص = 12 سم ، ص ع = 9 سم
فإن : ( س ع )2 = (س ص)2 + (ص ع)2
= 144 + 81 = 225 سم2
، مساحة المربع المنشأ على الضلع س ع = 225 سم2
إذا كان : س ص = 5 سم ، ص ع = 13 سم
فإن : ( س ع )2 = 0000 سم2
، مساحة المربع المنشأ على الضلع س ع = 0000 سم2

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : ارسم مثلثاً قائم الزاوية أطوال أضلاع زاويته القائمة كالآتي : 6 سم ، 8 سم
اكتب عبارة رياضية أو صياغة لفظية توضح علاقة الأضلاع الثلاثة .
الحل :
في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوى
مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة.

أي أن : ( ا حـ )2 = ( ا ب )2 + ( ب حـ )2




في الشكل المقابل : في المثلث ا ب حـ
إذا كان : ( ا ب )2 + ( ا حـ )2 = (ب حـ)2
فإن : ق( لاا ) = 90 5
في المثلث ا ب حـ إذا كان ب حـ أكبر الأضلاع طولا
و كان (ب حـ)2 ≠ ( ا ب )2 + ( ا حـ )2 فإن : ق( ا ) ≠90 5
وبذلك لا يكون مم أ ب حـ قائم الزاوية
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال : بين في كل مما يأتي ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا و حدد الزاوية
القائمة إن وجدت :
[أ] في مم ف ل م ، ف ل = 9 سم ، ل م = 15 سم ، ف م = 20 سم
[ب] في مم أ ب حـ ، ا ب = 8 سم ، ب حـ = 15 سم ، ا حـ = 17 سم
الحل :
[أ] بم ف م أكبر الأضلاع طولا .
، ( ف م )2 = 400 ، ( ف ل )2 + ( ل م )2 = 81 + 225 = 306
إ: ( ف ل )2 + ( ل م )2 ≠ ( ف م )2 إ: مم ف ل م ليس مثلث قائم الزاوية .

[ب] بما أن :ا حـ أكبر الأضلاع طولا .
، ( ا حـ )2 = 289 ، (ا ب)2 + ( ب حـ )2 = 64 + 225 = 289
إذن : ( ا ب)2 + ( ب حـ )2 = ( ا حـ )2
إذن : مم أ ب حـ مثلث قائم الزاوية .


فى الشكل المقابل

مثال : فى الشكل المقابل : أوجد ( ا جـ)2
الحـل A ق[ ب "] = 90
B ( ا جـ)2 = ( ا ب )2 + ( ب جـ )2
= (3)2 + (4)2 = 9 + 16
= 25

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : فى الشكل المقابل : أوجد ( ا جـ)2
الحل : A ق[ ب "] = 90
B ( ب جـ)2 = ( أ جـ )2 - ( أ ب )2
= (10)2 - (6)2 = 100 - 36
= 64

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : فى الشكل المقابل :

اء/ عع بج/ ، ا ب = ء ج = 5 سم ، ب ء = 3 سم
احسب مساحة المربع المنشأ على ا ج ممس
أوجد مساحة ∆ ا ب ج

الحل : A اء/ عع بج/ B ق[ ا ء "ب ]= 90
B ( ا ء )2 = ( ا ب )2 ــ ( ب ء )2 = 25 ــ 9 = 16 B ( ا ء )2 = 16
A اء/ عع بج/ B ق[ ا ء "ج ]= 90
B ( ا ج )2 = ( ا ء )2 + ( ء ج)2 = 16 + 25 = 41 B ( ا ج )2 = 41

B مساحة المربع المنشأ على ا ج ممس = 41





[1] ارسم مثلثاً قائم الزاوية طولا ضلعي زاويته القائمة كالآتي :
3 سم ، 4 سم 9 سم ، 12 سم
اكتب عبارة رياضية أو صياغة لفظية توضح العلاقة بين الأضلاع الثلاثة .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

[2] بين في كل مما يأتي ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا وحدد الزاوية القائمة إن وجدت :
ا ب حـ مثلث فيه : ا ب = 8 سم ، ب حـ = 8 سم ، ا حـ = 7 سم

ل م ن مثلث فيه : ل م = 20 سم ، م ن = 21 سم ، ل ن = 29 سم

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[3] أكمل ما يأتي :
في المثلث القائم الزاوية تكون مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوى 0000

أ ب حـ مثلث قائم الزاوية في ب إذا كان : ا ب = 12 سم ، ب حـ = 9 سم
فإن : ( ا حـ )2 = 0000 سم2
، مساحة المربع المنشأ على الضلع ا حـ = 0000 سم2

س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص إذا كان : س ص = 20سم
، ص ع = 25 سم فإن : ( س ع )2 = 0000 سم2
، مساحة المربع المنشأ على الضلع س ع = 0000 سم2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[4] فى الشكل المقابل : اب ج مثمثلث قائم الزاوية فى ب
، ا ب = 4 سم ، ب ج = 3 سم أكمــل ما يأتى :
( ا ج )2 = 0000 + 0000 = 0000 + 0000 = 000 سم2