المتتاليات والمتسلسلات
المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES
تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها.
مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .
نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.
مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.
الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE
بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.
مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un
الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .
في قانون الحد العام
إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1
7= 2 × 2 + 3 = u2
9= 2 × 3 + 3 = u3
وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .
اسئلة :
السؤال الاول :
اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :
أ)
ب) 1 ،8 ،27 ،. . . .
ج)7 ،7 ،7 ،. . . . .
المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION
عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )
مثال : إذا كان = a ، = b، أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟
الحل :
30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a
10= 1 + 2 + 3 + 4 = b
نلاحظ أن B3 = a
المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC PROGRESSION
اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا
يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .
كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.
استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :
50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.
تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175 متتالية حسابية .
مثال :
ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :
1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20
3) متتالية الأعداد الأولية 4) r + 7 ) ∑
r=1
الحل :
1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2
2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20 ليست حسابية لأن
أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2 ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6
3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1
بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت
4) (r + 7 ) ∑ = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)
= 8 +9+10+. . . +17
فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1
الحد العام للمتتالية الحسابية:
لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:
الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u2
الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u3
الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u7
لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول ) + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.
بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d فإن الحد الثاني = a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو
( n– 1 ) d = a = un
مثال :
أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.
الحل :
2= a، 5 = d
a+ ( n – 1 ) n= un
2 + (5 – 1 ) ×5= u5
22= 2 + 4× 5 = u
التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22
الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.
الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN
إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13 / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.
مثال:
أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ، 29
الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29
وتكون 4= a، 29 = u6
a + d 5 = u6
29= 4 + 5 × d
20= 5d d = 5
تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24
مجموع المتسلسلة الحسابية :SUM OF ARITHMETIC SERIES
في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي
1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق معدودة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس
( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،
كتب جاوس الحل كما يلي :
cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس
cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1
بالجمع cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101 ( عدد الحدود 100)
2c = 101 × 100
c= 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050
مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .
الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول a= 3 ، d = 5
n / 2 (2a + ( n – 1 ) d ) = cn
20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 ) = cn
= 10 × 101 = 1010
المتتاليات والمتسلسلات الهندسية
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
الحد العام للمتتالية الهندسية
مثال:
ما ترتيب الحد الذي قيمته 1215 من حدود المتتالية الهندسية: 5 ، 15 ، 45 ،. . . ؟
الحل :
نفرض أن الحد الذي قيمته 1215 هو un حيث a = 5 ، r = 3
1215 = 1-arn = un
1215 = 5× 3n-1 ( بالقسمة على 5 )
234 = 3n- 1 اذن n – 1 = 5 لأنه إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس
n = 6
الحد الذي قيمته 1215 هو الحد السادس
الأوساط الهندسية:GEOMETRIC MEAN
مثال : ما هو الوسط الهندسي للعددين 4 ، 9
الحل : نفرض أن الوسط الهندسي للعددين 4 ، c ،9
من التعريف تكون 4 ، c ، 9 متتالية الهندسية ويكون c / 4 = 9 / c
c2 = 36 = c=± 6
إذن يوجد وسطان هندسيان للعددين 4 ، 9 ، هما 6 ، فتكون لدينا متتاليان إحداهما : 4 ، 6 ، 9 والأخرى : 4 ، -6 ، 9
لاحظ أن 6 = 4 × 9
مجموع المتسلسلة الهندسية:SUM OF GEOMETRIC SERIES
لاحظ أنه إذا كانت 1 = r فإننا لا نستطيع تطبيق القاعدة المذكورة أعلاه ولكن المتسلسلة الهندسية تصبح :
a+ a + a + . . . = a ∑ = n a
مثال ( 1 ) :
أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من حدود المتسلسلة الهندسية : 3 + 6 + 12 + . . .
الحل :
3= a، 2 = r
c = 3 ( 2 6– 1 ) / 2 – 1 = 3 ( 64 – 1 ) / 1 = 3 × 63 = 189
مثال ( 2 ) 4
أوجد 5R ∑
R=1
الحل :
المتسلسلة هي : 5 1 + 5 2+ 5 3+ 5 4
أي أنها : 5 + 25 + 125 + 625 = 780 ، يمكن حساب المجموع باعتبار المتسلسلة متسلسلة
هندسية حدها الأول 5 وأساسها 5 فيكون مجموعها هو :
c = 5 ( 5 4– 1 ) / 5 – 1 = 5 × 624 / 4 = 5 × 156 = 780
المتسلسلة الهندسية اللانهائية :
INFINITE GEOMETRIC SERIES
مثال :
أوجد مجموع المتسلسلة 1 + 1/3 +1/9 + . . . إلى ما لا نهاية ( إن وجد ).
الحل :
المتسلسلة هندسية لا نهائية حدها = 1 ، وأساسها = 1/3
وبما أن 1/3< 1 إذن يوجد للمتسلسلة مجموع هو
c= a / 1 – r = 1 / 1-1/3 = 1 / 2/3 = 3\2
مثال : ∞
أوجد ( -1/2)r ∑
الحل :
الحد الأول من حدود المتسلسلة هو -1/2 = (-1/2) =u
u2= ( -1/2)2 = 1/4 ، u3= (-1/2)3=-1/8
حدود المتسلسلة هي : -1/2 ، 1/4 ، -1/8 ، . . . فهي متسلسلة لا نهائية.
r = 1/4 ÷-1/2 = - 1/2 ، وبما أن | -1/2| = 1/2<1 إذن للمتسلسلة الهندسية اللانهائية
مجموع هو:
c∞ = a/1- r = -1/2 /( 1+1/2 ) = -1/2 / 3/2 = -1/3
يمكن استخدام مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية في بعض تطبيقات كما يتضح من المثال الآتي:
مثال (3):
حول الكسر العشري الدوري 4, إلى كسر عادي
الحل: إن الكسر العشري يكافئ الكسر العشري00000 444, 0
00000 444, 0 = 4/10 + 4/100 + 4/ 1000 +. . .
لاحظ أن 4/100 ÷ 4/10 = 1/10 ، 4 / 1000 ÷ 4/ 100 = 1/10
فالمتسلسلة هندسية لا نهائية أساسها r = 1/10 ، 4/10 =a
فيكون مجموعها c= a / 1- r = 4/ 10 / 1-1/10 = 4/9 ÷ 9/10 =
4/10× 10/9 = 4/9
إذن 4, = 4/9 . تحقق من صحة الجواب بتحويل الكسر 4/9 إلى كسر عشري
المتتاليات والمتسلسلات
المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES
تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها.
مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .
نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.
مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.
الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE
بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.
مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un
الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .
في قانون الحد العام
إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1
7= 2 × 2 + 3 = u2
9= 2 × 3 + 3 = u3
وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .
اسئلة :
السؤال الاول :
اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :
أ) 1 ،8 ،27 ،. . . .
ب)7 ،7 ،7 ،. . . . .
المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION
عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )
مثال : إذا كان = a = أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟
الحل :
30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a
10= 1 + 2 + 3 + 4 = b
نلاحظ أن B3 =a
المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC PROGRESSION
اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا
يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .
كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.
استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :
50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.
تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175 متتالية حسابية .
مثال :
ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :
1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20
3) متتالية الأعداد الأولية 4) r + 7 ) ∑
r=1
الحل :
1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2
2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20 ليست حسابية لأن
أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2 ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6
3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1
بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت
4) (r + 7 ) ∑ = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)
= 8 +9+10+. . . +17
فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1
الحد العام للمتتالية الحسابية:
لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:
الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u2
الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u3
·
·
الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u7
لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول ) + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.
بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d فإن الحد الثاني = a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو
n– 1 ) d = a = un)
مثال :
أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.
الحل :
2= a، 5 = d
a+ ( n – 1 ) n= un
2 + (5 – 1 ) ×5= u5
22= 2 + 4× 5 = u
التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22
الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.
الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN
بشكل عام :
يمكن إدخال وسط حسابي بين العددين a ، b فيكون هذا الوسط = a + b / 2 وتشكل الأعداد
a ،a + b /2 ، b متتالية حسابية. وإذا كان a ، b عددين فإنه يمكننا ادخال عدة اعداد كاوساط حسابية هي : x1 ، x2 ، x 2 ، . . . ، xn بين العددين a ، b لأن كلا منها يكون وسطا حسابيا للعددين المجاورين له في المتتالية
إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13 / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.
مثال:
أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ، 29
الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29
وتكون 4= a، 29 = u6
a + d 5 = u6
29= 4 + 5 × d
20= 5d d = 5
تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24
مجموع المتسلسلة الحسابية :SUM OF ARITHMETIC SERIES
في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي
1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق معدودة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس
( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،
كتب جاوس الحل كما يلي :
cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس
cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1
بالجمع cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101 ( عدد الحدود 100)
2c = 101 × 100
c= 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050
قاعدة :
n/ 2 ( a+ k) = cn . . . (1) n / 2 (2a + (n – 1 )d ) = cn . . . (2
مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .
الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول a= 3 ، d = 5
n / 2 (2a + ( n – 1 ) d ) = cn
20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 ) = cn
= 10 × 101 = 1010
ثانيا : جمع وطرح الحدود الجبرية :
مثال : اكتب بابسط صورة Simplify :
1) 5a+7a - 2a -a
الحدود المتشابهة تجمع وتطرح وعليه فإن الجواب =9a
2) 3b+1-b+4
= 2b +5
3) 2ab+ab-7a+3ab
=6ab-7a
أسئلة :
اختصر ما يلي الى ابسط صورة :
1)3a-7+a+1
+4x+ 5 -3x 2) 5x2
2x+ 5 +x - 7– 3) x2
4) a2 +ab + b2 -2ab - b2+ a2
5) (2x-3) - (x+3) - (2x+7)
ضرب المقادير الجبرية :
سبق ان درست ان a 2 6= 2a.3a، وأن 6ab= 2a ( 3b) وهكذا فإننا نجري ضرب لحدود الجبرية كما في المثال التالي :
مثال:
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify
3x(2x-2)+x(2x-1)
الحل : باستخدام قانون التوزيع فإن - 6x+ 2x2- x 6x2
-7x 8x2=
مثال :
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify :
( 2a – 7)( 3a +
الحل :
( 2a – 7)( 3a + = 6a2 + 16a – 21a – 56 = 6a2 – 5a – 56
مثال :
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify
2 (a+b ) 2 (a– b)
3 ( a + b)
الحل:
2 (a+b ) = (a+b)(a+b)
= a2+2ab + b2
(a – b) (a – b) = 2 (a– b)
=a2 + - 2ab+ b2
a3+a 3 b2 +a b2 3 + b3= (a+ b) (a2 +2ab+b2 )= 3 (a +b)
اسئلة على ضرب المقادير الجبرية :
فك الاقواس ثم اختصر
1) 2x(x-1)-3x(x+5)
2) (3x-4)(3x+4)
3) (2x+3) 2
4) (3a-2) 2
5) (2x+5)(3x-1)- (x-1)2(x+1)
6) (3a-4)(2a+4) - (a-3)(9+3)
7) (5a-9)(5a+9) - (3a-5)(3a+5)
المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES
تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها.
مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .
نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.
مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.
الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE
بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.
مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un
الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .
في قانون الحد العام
إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1
7= 2 × 2 + 3 = u2
9= 2 × 3 + 3 = u3
وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .
اسئلة :
السؤال الاول :
اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :
أ)
ب) 1 ،8 ،27 ،. . . .
ج)7 ،7 ،7 ،. . . . .
المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION
عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )
مثال : إذا كان = a ، = b، أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟
الحل :
30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a
10= 1 + 2 + 3 + 4 = b
نلاحظ أن B3 = a
المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC PROGRESSION
اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا
يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .
كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.
استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :
50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.
تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175 متتالية حسابية .
مثال :
ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :
1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20
3) متتالية الأعداد الأولية 4) r + 7 ) ∑
r=1
الحل :
1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2
2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20 ليست حسابية لأن
أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2 ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6
3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1
بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت
4) (r + 7 ) ∑ = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)
= 8 +9+10+. . . +17
فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1
الحد العام للمتتالية الحسابية:
لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:
الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u2
الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u3
الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u7
لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول ) + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.
بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d فإن الحد الثاني = a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو
( n– 1 ) d = a = un
مثال :
أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.
الحل :
2= a، 5 = d
a+ ( n – 1 ) n= un
2 + (5 – 1 ) ×5= u5
22= 2 + 4× 5 = u
التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22
الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.
الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN
إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13 / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.
مثال:
أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ، 29
الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29
وتكون 4= a، 29 = u6
a + d 5 = u6
29= 4 + 5 × d
20= 5d d = 5
تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24
مجموع المتسلسلة الحسابية :SUM OF ARITHMETIC SERIES
في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي
1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق معدودة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس
( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،
كتب جاوس الحل كما يلي :
cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس
cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1
بالجمع cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101 ( عدد الحدود 100)
2c = 101 × 100
c= 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050
مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .
الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول a= 3 ، d = 5
n / 2 (2a + ( n – 1 ) d ) = cn
20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 ) = cn
= 10 × 101 = 1010
المتتاليات والمتسلسلات الهندسية
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
الحد العام للمتتالية الهندسية
مثال:
ما ترتيب الحد الذي قيمته 1215 من حدود المتتالية الهندسية: 5 ، 15 ، 45 ،. . . ؟
الحل :
نفرض أن الحد الذي قيمته 1215 هو un حيث a = 5 ، r = 3
1215 = 1-arn = un
1215 = 5× 3n-1 ( بالقسمة على 5 )
234 = 3n- 1 اذن n – 1 = 5 لأنه إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس
n = 6
الحد الذي قيمته 1215 هو الحد السادس
الأوساط الهندسية:GEOMETRIC MEAN
مثال : ما هو الوسط الهندسي للعددين 4 ، 9
الحل : نفرض أن الوسط الهندسي للعددين 4 ، c ،9
من التعريف تكون 4 ، c ، 9 متتالية الهندسية ويكون c / 4 = 9 / c
c2 = 36 = c=± 6
إذن يوجد وسطان هندسيان للعددين 4 ، 9 ، هما 6 ، فتكون لدينا متتاليان إحداهما : 4 ، 6 ، 9 والأخرى : 4 ، -6 ، 9
لاحظ أن 6 = 4 × 9
مجموع المتسلسلة الهندسية:SUM OF GEOMETRIC SERIES
لاحظ أنه إذا كانت 1 = r فإننا لا نستطيع تطبيق القاعدة المذكورة أعلاه ولكن المتسلسلة الهندسية تصبح :
a+ a + a + . . . = a ∑ = n a
مثال ( 1 ) :
أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من حدود المتسلسلة الهندسية : 3 + 6 + 12 + . . .
الحل :
3= a، 2 = r
c = 3 ( 2 6– 1 ) / 2 – 1 = 3 ( 64 – 1 ) / 1 = 3 × 63 = 189
مثال ( 2 ) 4
أوجد 5R ∑
R=1
الحل :
المتسلسلة هي : 5 1 + 5 2+ 5 3+ 5 4
أي أنها : 5 + 25 + 125 + 625 = 780 ، يمكن حساب المجموع باعتبار المتسلسلة متسلسلة
هندسية حدها الأول 5 وأساسها 5 فيكون مجموعها هو :
c = 5 ( 5 4– 1 ) / 5 – 1 = 5 × 624 / 4 = 5 × 156 = 780
المتسلسلة الهندسية اللانهائية :
INFINITE GEOMETRIC SERIES
مثال :
أوجد مجموع المتسلسلة 1 + 1/3 +1/9 + . . . إلى ما لا نهاية ( إن وجد ).
الحل :
المتسلسلة هندسية لا نهائية حدها = 1 ، وأساسها = 1/3
وبما أن 1/3< 1 إذن يوجد للمتسلسلة مجموع هو
c= a / 1 – r = 1 / 1-1/3 = 1 / 2/3 = 3\2
مثال : ∞
أوجد ( -1/2)r ∑
الحل :
الحد الأول من حدود المتسلسلة هو -1/2 = (-1/2) =u
u2= ( -1/2)2 = 1/4 ، u3= (-1/2)3=-1/8
حدود المتسلسلة هي : -1/2 ، 1/4 ، -1/8 ، . . . فهي متسلسلة لا نهائية.
r = 1/4 ÷-1/2 = - 1/2 ، وبما أن | -1/2| = 1/2<1 إذن للمتسلسلة الهندسية اللانهائية
مجموع هو:
c∞ = a/1- r = -1/2 /( 1+1/2 ) = -1/2 / 3/2 = -1/3
يمكن استخدام مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية في بعض تطبيقات كما يتضح من المثال الآتي:
مثال (3):
حول الكسر العشري الدوري 4, إلى كسر عادي
الحل: إن الكسر العشري يكافئ الكسر العشري00000 444, 0
00000 444, 0 = 4/10 + 4/100 + 4/ 1000 +. . .
لاحظ أن 4/100 ÷ 4/10 = 1/10 ، 4 / 1000 ÷ 4/ 100 = 1/10
فالمتسلسلة هندسية لا نهائية أساسها r = 1/10 ، 4/10 =a
فيكون مجموعها c= a / 1- r = 4/ 10 / 1-1/10 = 4/9 ÷ 9/10 =
4/10× 10/9 = 4/9
إذن 4, = 4/9 . تحقق من صحة الجواب بتحويل الكسر 4/9 إلى كسر عشري
المتتاليات والمتسلسلات
المتتاليات ( المتتابعات) SEQUENCES
تواجهنا في كثير من الأحوال مجموعات من الأعداد نهتم بترتيب عناصرها بحيث يكون لدينا في كل حالة : عنصر أول ، عنصر ثان ، عنصر ثالث ، . . . نسمي كلا من الأعداد من هذه المجموعات المرتبة متتالية ( متتابعة ) تمييزا لها عن المجمعات العادية التي درسناها سابقا والتي لا أهمية للترتيب بين عناصرها.
مثال : المجموعة المرتبة : 2 ، 4 ،6 ، 8 ، . . . هي متتالية المعروفة ، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة .
نسمي العدد 2 الحد الأول في المتتالية والعدد 4 الحد الثاني فيها ،. . . وهكذا.
مثال: المجموعة المرتبة : 1 ، 3 5 ، . . . هي متتالية الاعداد الفردية الموجبة ، حدها الأول = 1 ، وحدها الثاني = 3 ،. . . وهكذا.
الحد العام للمتتالية : GENERAL TERM OF A SEQUENCE
بوجه عام تتوالى حدود المتتالية بانتظام أي تكون هذه الحدود وفق نمط أو قاعدة معينة بحيث نستطيع معرفة اي حد في المتتالية إذا عرف ترتيب الحد . الحدالذي رتبته n يسمى النوني أو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز un.
مثال: اكتب المتتالية التي حدها العام n2 + 3 = un
الحل : للحصول على حدود المتتالية u1, u2, u3، . . . نعوض قيم n: 1 ، 2 ، 3 ، . . .
في قانون الحد العام
إذن 5 = 2 × 1 + 3 = u1
7= 2 × 2 + 3 = u2
9= 2 × 3 + 3 = u3
وتكون المتتالية هي : 5 ، 7 ، 9 ، . . .
اسئلة :
السؤال الاول :
اكتب الحد العام للمتتاليات التالية :
أ) 1 ،8 ،27 ،. . . .
ب)7 ،7 ،7 ،. . . . .
المتسلسلات ورمز المجموع SERIES AND SIGMA NOTATION
عرفنا فيما سبق أن المتتالية هي مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية وفق قاعدة معينة ويفصل بين حدودها الإشارة ((،)) ولكن إذا استبدلنا إشارة ((،)) بإشارة الجمع ((+)) فإن المتتالية تسمى متسلسلة فمثلا: 2 ، 5 ، 8 ، . . . متتالية أم المجموع : 2 + 5 + 8 + . . . فيسمى متسلسلة وللتعبير عن هذا المجموع نستخدم رمزا خاصا يسمى∑ ( ويقرأ سيجما )
مثال : إذا كان = a = أوجد قيم a ، b . ما العلاقة بينهما ؟ ماذا نستنتج ؟
الحل :
30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a
10= 1 + 2 + 3 + 4 = b
نلاحظ أن B3 =a
المتتاليات والمتسلسلات الحسابية :ARITHMETIC PROGRESSION
اتفق مقاول أن يحفر بئرا عمقه 6 أمتار على أن يتقاضى مبلغا قدره 50 ريالا عن أول قدم يحفره ، 75 ريالا عن القدم الثاني ، 100 ريالا عن القدم الثالث . . . وهكذا
يريد صاحب البئر معرفة كم يكلفه حفر المتر السادس من البئر ،/ وكم يكلفه حفر البئر كله .
كتب صاحب البئر الاجرة التي سيدفعها للمقاول عن كل متر يحفره مستخدما النمط السابق نفسه وهو زيادة منتظمة قدرها 25 ريالا ، فكتب المتتالية :50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175.
استنتج صاحب البئر أن المتر السادس يكلفه 175 ، وأن تكاليف حفر البئر كله هي :
50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 ريالا.
تسمى المتتالية : 50 ، 75 ، 100 ، 125 ، 150 ، 175 متتالية حسابية .
مثال :
ميز المتتاليات أو المتسلسلات الحسابية من غيرها فيما يلي :
1) 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 2) 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20
3) متتالية الأعداد الأولية 4) r + 7 ) ∑
r=1
الحل :
1) المتتالية 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31 حسابية لأن أساسها ثابت حيث 5 – 3 = 2 ، 7 – 5 = 2
2) المتسلسلة 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20 ليست حسابية لأن
أساسها غير ثابت حيث 1 / 2 – 1 = - 1 / 2 ، بينما 1/3 – 1/2 = - 1/6
3) متتالية الأعداد الأولية : 2 ،3 ، 5 ، 7 ، . . . ليست حسابية لأن 3 – 2 = 1
بينما 5 – 3= 2 فأساسها غير ثابت
4) (r + 7 ) ∑ = (1+7) + (2+7 ) + (3+7 ) + ( 4 + 7) + . . . + ( 10+ 7)
= 8 +9+10+. . . +17
فهي متسلسلة حسابية لأن أساسها ثابت حيث 9 - 8= 10 - 9 = 1
الحد العام للمتتالية الحسابية:
لنأخذ المتتالية الحسابية : 3 ، 7 ، 11 ، 15 ،19، 23 ، 27 التي أساسها 4 ونلاحظ النمط التالي:
الحد الثاني 7 = 3 + 4×1 = 3 + ( 2 – 1 )×4 = u2
الحد الثالث 11 = 3 + 4× 2 = 3 (3 – 1 ) × 4 = u3
·
·
الحد السابع 27 = 3 + 6 × 4 = 3 + (7 – 1 ) × 4 = u7
لاحظ أن كل حد = العدد 3 (الحد الأول ) + ( رتبة الحد – 1 ) × الأساس وهذا ينطبق أيضا على الحد الأول ،تحقق من ذلك.
بشكل العام : إذا كان الحد الاول لمتتالية حسابية هو a وأساسها d فإن الحد الثاني = a+ d ، الحد الثالث = a + d2 والحد العاشر = a+ 9d ،وهكذا . . . ويكون الحد العام ( الحد النوني ) هو
n– 1 ) d = a = un)
مثال :
أوجد الحد الخامس في المتتالية الحسابية التي حدها الأول 2 وأساسها 5. تحقق بكتابة الحدود الخمسة الأولى من المتتالية.
الحل :
2= a، 5 = d
a+ ( n – 1 ) n= un
2 + (5 – 1 ) ×5= u5
22= 2 + 4× 5 = u
التحقق : المتتالية هي 2 ، 7 ، 12 ، 17 ، 22
الحد الخامس = 22 ، النتيجة صحيحة.
الأوساط الحسابية:ARITHMETIC MEAN
بشكل عام :
يمكن إدخال وسط حسابي بين العددين a ، b فيكون هذا الوسط = a + b / 2 وتشكل الأعداد
a ،a + b /2 ، b متتالية حسابية. وإذا كان a ، b عددين فإنه يمكننا ادخال عدة اعداد كاوساط حسابية هي : x1 ، x2 ، x 2 ، . . . ، xn بين العددين a ، b لأن كلا منها يكون وسطا حسابيا للعددين المجاورين له في المتتالية
إذا أخذنا ثلاثة حدود متتالية من متتالية حسابية فإن الحد الأوسط منها يكون وسطا حسابيا للحدين الآخرين، ففي المتتالية الحسابية : 5 ، 9 ، 13 ، 17 نلاحظ أن العدد 9 هو الوسط الحسابي للعددين المجاورين 5 ، 13 لأن 9 = 5 = 13 / 2 كما أن العدد 13 هو الحسابي للعددين المجاورين 9، 17.
مثال:
أدخل 4 أوساط حسابية بين العددين 4 ، 29
الحل : عند ادخال 4 أوساط حسابية بين 4 ، 29 تصبح المتتالية على النحو : 4 ، x 1 ،x2 ، x3، x4 ،29
وتكون 4= a، 29 = u6
a + d 5 = u6
29= 4 + 5 × d
20= 5d d = 5
تصبح المتتالية الحسابية : 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، 29 وتكون الاوساط هي 9 ،14 ، 19 ، 24
مجموع المتسلسلة الحسابية :SUM OF ARITHMETIC SERIES
في عام 1787 م طلب معلم من تلاميذه أن يجمعوا جميع الاعداد الصحيحة من 1 إلى 100 أي
1+ 2 + 3 + . . . + 100 لم تمض سوى دقائق معدودة حتى فاجأه احد تلاميذ ويدعى جاوس
( وكان آنذاك في الصف الثالث ) بأن اعطاء الجواب الصحيح وهو 5050. سأله المعلم مندهشا كيف حصلت على الجواب ،
كتب جاوس الحل كما يلي :
cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 ثم كتب المجموع نفسه بشكل معكوس
cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1
بالجمع cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101 ( عدد الحدود 100)
2c = 101 × 100
c= 101 × 100 / 2 = 50 ( 101 ) = 5050
قاعدة :
n/ 2 ( a+ k) = cn . . . (1) n / 2 (2a + (n – 1 )d ) = cn . . . (2
مثال : أوجد مجموع أول 20 حدا من حدود المتسلسلة : 3 + 8 + 13 + . . .
الحل : المتسلسلة هي متسلسلة حسابية حدها الأول a= 3 ، d = 5
n / 2 (2a + ( n – 1 ) d ) = cn
20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 ) = 10 ( 6 + 95 ) = cn
= 10 × 101 = 1010
ثانيا : جمع وطرح الحدود الجبرية :
مثال : اكتب بابسط صورة Simplify :
1) 5a+7a - 2a -a
الحدود المتشابهة تجمع وتطرح وعليه فإن الجواب =9a
2) 3b+1-b+4
= 2b +5
3) 2ab+ab-7a+3ab
=6ab-7a
أسئلة :
اختصر ما يلي الى ابسط صورة :
1)3a-7+a+1
+4x+ 5 -3x 2) 5x2
2x+ 5 +x - 7– 3) x2
4) a2 +ab + b2 -2ab - b2+ a2
5) (2x-3) - (x+3) - (2x+7)
ضرب المقادير الجبرية :
سبق ان درست ان a 2 6= 2a.3a، وأن 6ab= 2a ( 3b) وهكذا فإننا نجري ضرب لحدود الجبرية كما في المثال التالي :
مثال:
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify
3x(2x-2)+x(2x-1)
الحل : باستخدام قانون التوزيع فإن - 6x+ 2x2- x 6x2
-7x 8x2=
مثال :
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify :
( 2a – 7)( 3a +
الحل :
( 2a – 7)( 3a +
= 6a2 + 16a – 21a – 56 = 6a2 – 5a – 56 مثال :
فك الاقواس ثم اختصر Expand and Simplify
2 (a+b ) 2 (a– b)
3 ( a + b)
الحل:
2 (a+b ) = (a+b)(a+b)
= a2+2ab + b2
(a – b) (a – b) = 2 (a– b)
=a2 + - 2ab+ b2
a3+a 3 b2 +a b2 3 + b3= (a+ b) (a2 +2ab+b2 )= 3 (a +b)
اسئلة على ضرب المقادير الجبرية :
فك الاقواس ثم اختصر
1) 2x(x-1)-3x(x+5)
2) (3x-4)(3x+4)
3) (2x+3) 2
4) (3a-2) 2
5) (2x+5)(3x-1)- (x-1)2(x+1)
6) (3a-4)(2a+4) - (a-3)(9+3)
7) (5a-9)(5a+9) - (3a-5)(3a+5)
وجعلـــــ الله ــــه في ميزان حسناتك
عبدة برالأربعاء 28 مارس 2012, 7:32 am